Analysis

2. ENDLICHDIMENSIONALE DARSTELLUNGEN 809
endlichdimensionale Vektorraum als eine direkte Summe von eindimensionalen
Teilräumen schreiben läßt. Ein rein algebraischer Beweis für eine analoge
Aussage im Fall von Darstellungen der Liealgebra sl(2; C) wird in Übung
2.2.16 erklärt. Wenn wir diese algebraische Aussage aus dem vorhergehenden
Satz 2.3.1 ableiten wollen, muß jedoch der Satz zur Verfügung stehen,
nach dem jede endlichdimensionale Darstellung der Liealgebra su(2) zu einer
Darstellung der Liegruppe SU(2) integriert werden kann.
Beispiel 2.3.4. Die offensichtliche zweidimensionale Darstellung von
1 t
G = t ∈ R
0 1
auf R 2 läßt sich nicht als direkte Summe von einfachen Unterdarstellungen
schreiben, denn sie hat nur eine einzige eindimensionale Unterdarstellung, die
Gerade R e1. Die Kompaktheit der dargestellten Gruppe ist also für unseren
Satz 2.3.1 wesentlich.
Definition 2.3.5. Eine stetige positive Dichte auf einer Mannigfaltigkeit
ist ein Borelmaß, dessen Restriktion auf jede Karte durch das Produkt
des Lebesgue-Maßes mit einer stetigen positiven Funktion dargestellt werden
kann.
Definition 2.3.6. Ein Haar-Maß, genauer ein linksinvariantes Haar-
Maß auf einer Matrix-Liegruppe G ist eine stetige positive Dichte µ auf G
im Sinne von 2.3.5 mit µ(xA) = µ(A) für alle x ∈ G und alle Borelmengen
A ⊂ G.
Vorschau 2.3.7. Ganz allgemein definiert man ein Haar-Maß auf einer topologischen
Gruppe als ein von Null verschiedenes nichtnegatives linksinvariantes
“Radonmaß” und zeigt Existenz und Eindeutigkeit für beliebige lokal kompakte
Hausdorff’sche topologische Gruppen, vergleiche 17.3.2 und 17.3.3. In
unserem speziellen Fall entsprechen jedoch nach dem Riesz’schen Darstellungssatz
17.2.3 die Radonmaße eineindeutig den Borelmaßen, weshalb unser
Haar-Maß hier auch im Sinne der allgemeinen Definition ein Haar-Maß ist.
Satz 2.3.8 (Existenz und Eindeutigkeit Haar’scher Maße). Auf jeder
Matrix-Liegruppe gibt es ein Haar’sches Maß, und je zwei Haar’sche Maße
auf derselben Gruppe unterscheiden sich höchstens um einen konstanten
Faktor a > 0.
Beweis. Die Eindeutigkeit ist klar, da sich je zwei stetige positive Dichten
offensichtlich nur um das Produkt mit einer stetigen positiven Funktion unterscheiden,
die im Fall von zwei Haar-Maßen eben auch linksinvariant und