Analysis

148 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
3.2.3. Wieder ist unsere Notation nicht ganz korrekt: Wir müßten genau
genommen eigentlich die Bijektion ˜ f : I ∼ → f(I), x ↦→ f(x) betrachten, dazu
die inverse Abbildung ˜ f −1 : f(I) ∼ → I nehmen, und unser f −1 : f(I) → R
definieren als die Verknüpfung von ˜ f −1 mit der Einbettung I ↩→ R.
3.2.4. Die Umkehrfunktion f −1 darf nicht verwechselt werden mit der Funktion
x ↦→ 1/f(x) : Ist zum Beispiel f : (0, ∞) → R gegeben durch f(x) = x 2 ,
so haben wir 1/f(x) = x −2 , aber die Umkehrabbildung ist gegeben durch
f −1 (y) = √ y. Die Notation ist hier leider nicht ganz eindeutig. Oft muß man
aus dem Kontext erschließen, ob mit f −1 die Umkehrfunktion von f oder
vielmehr die “Kehrwertfunktion” x ↦→ 1/f(x) gemeint ist.
Beweis. Sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit f streng monoton wachsend.
Bezeichne g : f(I) → R die Umkehrfunktion, die unter diesen Umständen
auch streng monoton wachsen muß. Gegeben p ∈ f(I) müssen wir für jede
Umgebung U von g(p) eine Umgebung U ′ von p finden mit der Eigenschaft
g(U ′ ∩ f(I)) ⊂ U. Wir unterscheiden drei Fälle: Ist das Definitionsintervall I
unserer Ausgangsfunktion f eine Umgebung von g(p), so umfaßt jede Umgebung
U von g(p) ein Intervall der Gestalt (a, b) mit a < g(p) < b und a, b ∈ I
und wir können schlicht U ′ = (f(a), f(b)) nehmen. Besteht I nur aus einem
einzigen Punkt, so ist eh alles klar. Besteht schließlich I aus mehr als einem
Punkt und ist g(p) eine seiner Grenzen, ohne Beschränkung der Allgemeinheit
sein Supremum, so umfaßt jede Umgebung U von g(p) ein Intervall der
Gestalt (a, g(p)] mit a ∈ I und wir können U ′ = (f(a), ∞] nehmen.
Beispiel 3.2.5. Wenden wir unseren Satz an auf die Funktion f : [0, ∞) → R,
x ↦→ x 2 , so finden wir insbesondere, daß das Wurzelziehen
[0, ∞) → R, x ↦→ √ x
eine stetige Funktion ist. Da sich die Funktion x ↦→ x 2 zu einer streng monotonen
Bijektion [0, ∞] ∼ → [0, ∞] fortsetzen läßt durch die Vorschrift ∞ ↦→ ∞,
läßt sich nach unserem Satz die Wurzelfunktion durch die Vorschrift ∞ ↦→ ∞
zu einer stetigen Bijektion [0, ∞] ∼ → [0, ∞] fortsetzen. Analoges gilt für höhere
Wurzeln, nur haben wir bis jetzt noch nicht bewiesen, daß wir solche
höheren Wurzeln auch tatsächlich aus jeder nichtnegativen reellen Zahl ziehen
können. Das folgt erst aus dem Zwischenwertsatz, den wir im Anschluß
behandeln.
Satz 3.2.6 (Zwischenwertsatz). Für a ≤ b aus R nimmt eine stetige Funktion
f : [a, b] → R jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an.