Analysis

1. HOLOMORPHE FUNKTIONEN 1339
Beweis. Wir beachten (γ◦t) ′ (τ) = γ ′ (t(τ))t ′ (τ) nach der Kettenregel, können
unsere Behauptung demnach ausschreiben zur Behauptung
c
f(γ(t(τ)))γ
d
′ (t(τ))t ′ t(c)
(τ) dτ =
t(d)
f(γ(t))γ ′ (t) dt
und diese Gleichung folgt aus der Substitutionsregel II.4.6.1, angewandt auf
Real- und Imaginärteil, oder eleganter aus der Substitutionsregel III.1.3.8 für
vektorwertige Funktionen.
Proposition 1.3.13 (Existenz von Stammfunktionen). Eine stetige
komplexwertige Funktion auf einer offenen Teilmenge der komplexen Zahlenebene
besitzt eine Stammfunktion genau dann, wenn ihr Wegintegral über
jeden geschlossenen Integrationsweg in unserer offenen Teilmenge verschwindet.
Beweis. Besitzt unsere Funktion eine Stammfunktion, so verschwinden alle
Wegintegrale über geschlossene Integrationswege nach 1.3.7. Um die Gegenrichtung
zu zeigen dürfen wir nach IV.3.4.2 ohne Beschränkung der Allgemeinheit
unsere offene Teilmenge U ⊂◦ C wegzusammenhängend annehmen.
Dann wählen wir p ∈ U fest und betrachten die Funktion
F : U → C
w ↦→
γw
f(z) dz
für γw einen beliebigen Integrationsweg von p nach w, den es nach IV.3.4.5
geben muß und von dessen Wahl unser Wegintegral nach Annahme ja nicht
abhängt. Für kleines h ∈ C können wir dann F (w + h) berechnen, indem wir
an den Weg γw noch das Geradensegment [w, w + h] anhängen. Für kleines
h ∈ C gilt damit
F (w + h) − F (w) =
1
0
f(w + τh)h dτ
und teilen wir durch h, so erhalten wir 1
f(w + τh) dτ, und das strebt für
0
h → 0 offensichtlich gegen f(w). Folglich ist F eine Stammfunktion unserer
stetigen Funktion f.
1.3.14. Unter einem Rechteck oder genauer einem achsenparallelen Rechteck
verstehen wir eine Teilmenge Q ⊂ R 2 , die das Produkt von zwei halboffenen
kompakten reellen Intervallen ist. Unter dem Randweg ∂ Q eines
Rechtecks Q verstehen wir den geschlossenen Weg, der von der unteren linken
Ecke ausgehend einmal im Gegenuhrzeigersinn auf dem Rand unseres