Analysis

954 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Beweis. Sei G unsere Gruppe, S ⊂ G unser Torus und x ∈ ZG(S) ein Element
seines Zentralisators. Sicher ist B = 〈x, S〉 abelsch und kompakt und
B/B ◦ ist topologisch erzeugt von ¯x und mithin zyklisch. Damit ist aber B
topologisch zyklisch nach 4.10.17 und liegt folglich in einem maximalen Torus
von G. Wir folgern, daß ZG(S) die Vereinigung aller der maximalen Tori von
G ist, die S umfassen. Nach 1.4.7.3 ist ZG(S) dann zusammenhängend als
Vereinigung einer Familie zusammenhängender Teilmengen mit nichtleerem
Schnitt.
Korollar 6.4.17. In einer kompakten zusammenhängenden Liegruppe ist jeder
maximale Torus sein eigener Zentralisator.
Beweis. In jeder kompakten Liegruppe ist jeder maximale Torus die Einzusammenhangskomponente
seines Zentralisators nach 6.1.5, und ist unsere
Liegruppe zusammenhängend, so ist der Zentralisator unseres Torus bereits
zusammenhängend nach 6.4.15.
Proposition 6.4.18 (Wurzeln und ihre Spiegelungen). Seien G ⊃ T
eine zusammenhängende kompakte Liegruppe mit einem maximalem Torus,
X = X(T ) das Charaktergitter, R ⊂ X das Wurzelsystem und W = W(G, T )
die Weylgruppe. So gilt für jede Wurzel α ∈ R :
1. Der Wurzelraum (LieC G) α ist eindimensional und kein positives Vielfaches
von α ist auch positives Vielfaches einer anderen Wurzel β, in
Formeln gilt für β ∈ R also (α = β) ⇒ (Nα ∩ Nβ = 0);
2. Es gibt genau ein Element der Weylgruppe s = sα ∈ W , das auf X als
Spiegelung operiert mit s(α) = −α;
3. Es gibt ein α ∨ : X → Z mit s(λ) = λ − 〈λ, α ∨ 〉α ∀λ ∈ X.
Beweis. 1. Wir betrachten die Einszusammenhangskomponente des Kerns
von α, den Torus S := (ker α) ◦ ⊂ T , und bilden das kommutative Diagramm
T
T/S
ZG(S)
ZG(S)/S
Ein Beispiel für diese Konstruktion wird in 6.4.19 skizziert. Die obere Horizontale
ist offensichtlich die Einbettung eines maximalen Torus, und wegen
6.4.12 gilt dasselbe für die untere Horizontale. Die obere und damit auch die
untere Horizontale ist weiter wegen (LieC G) α ⊂ LieC ZG(ker α) ⊂ LieC ZG(S)
keine Bijektion. Aus Dimensionsgründen haben wir T/S ∼ = S 1 . Nach der