Analysis

4. DIFFERENTIATION UND INTEGRATION 195
Beweis. Man wende den Satz von Rolle 4.3.7 an auf die Funktion
F (x) = f(x) (g(a)) − g(b)) − g(x) (f(a) − f(b))
Jetzt zeigen wir die Regeln von de l’Hospital. Wir dürfen ohne Beschränkung
der Allgemeinheit p ∈ I annehmen, indem wir sonst I an der Stelle p in zwei
Teile zerschneiden und den rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert bei p
getrennt betrachten. Für jede Umgebung W des Grenzwerts
q = lim
x→p f ′ (x)/g ′ (x)
finden wir nun per definitionem eine Intervallumgebung V von p mit ξ ∈
I ∩ V ⇒ f ′ (ξ)/g ′ (ξ) ∈ W. Für beliebige a, b ∈ I ∩ V mit a = b gilt dann
g(a) = g(b), da nach Annahme die Ableitung von g keine Nullstelle auf I\p
hat, und aus dem allgemeinen Mittelwertsatz folgt dann weiter
f(a) − f(b)
g(a) − g(b)
∈ W
Von nun an müssen wir die beiden Fälle im Satz getrennt weiterbehandeln.
Zunächst nehmen wir an, es gelte limx→p f(x) = limx→p g(x) = 0.
Ist W ein kompaktes Intervall, so folgt f(a)/g(a) ∈ W sofort, indem wir
a festhalten, b gegen p streben lassen und uns an die Erhaltung von Ungleichungen
im Grenzwert erinnern. Die Behauptung im ersten Fall folgt
dann, da für jeden Punkt seine kompakten Intervallumgebungen ein Fundamentalsystem
von Umgebungen bilden. Jetzt behandeln wir noch den Fall
limx→p |f(x)| = limx→p |g(x)| = ∞. In diesem Fall dürfen wir ohne Beschränkung
der Allgemeinheit auch annehmen, daß f auf I keine Nullstelle hat, so
daß gilt
f(a) − f(b)
g(a) − g(b)
= f(b)
g(b)
1 − f(a)/f(b)
1 − g(a)/g(b)
Sei nun a ∈ I ∩ V fest gewählt. Für jedes und insbesondere auch für sehr
nahe bei Eins liegendes α ∈ (0, 1) finden wir dann eine Umgebung U von p
derart, daß gilt
b ∈ U ∩ I ⇒
1 − f(a)/f(b)
1 − g(a)/g(b) ∈ (α, α−1 )
Indem wir zusätzlich U ⊂ V wählen, finden wir damit für jede Umgebung
W von q und jedes α ∈ (0, 1) eine Umgebung U von p mit b ∈ U ∩ I ⇒
f(b)/g(b) ∈ (α, α −1 )W. Die Behauptung folgt nun im zweiten Fall, da es für
jede Umgebung W ′ von q eine Umgebung W von q und ein α ∈ (0, 1) gibt
mit (α, α −1 )W ⊂ W ′ .