Analysis

856 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
4.1.25. Übung 4.1.22 besagt unter anderem, daß die Verknüpfung von zwei
initialen Morphismen stets initial ist, und daß Verknüpfung g ◦ h von zwei
Morphismen nur dann initial sein kann, wenn h initial ist. Insbesondere ist
jeder Morphismus initial, zu dem es einen linksinversen Morphismus gibt.
Definition 4.1.26. Ist ψ : Y ↩→ X ein injektiver Morphismus von kgeringten
Räumen und trägt Y die initiale Struktur, so nennen wir ψ eine
Einbettung von k-geringten Räumen. In der algebraischen Geometrie ist
hierfür auch die Bezeichnung Immersion gebräuchlich, in der Differentialgeometrie
versteht man jedoch unter einer Immersion meist etwas anderes.
4.1.27. Nach 4.1.25 ist die Verknüpfung von zwei Einbettungen wieder eine
Einbettung. Besonders oft werden uns offene Einbettungen und abgeschlossene
Einbettungen begegnen, bei denen zusätzlich gefordert wird,
daß sie als Abbildungen topologischer Räume offen bzw. abgeschlossen sind,
oder gleichbedeutend, daß ihr Bild offen bzw. abgeschlossen ist.
Übung 4.1.28. Ist (Ui)i∈I eine offene Überdeckung eines k-geringten Raums
X, so trägt X die finale Struktur in Bezug auf die Einbettungen Ui ↩→ X.
Eine Abbildung X → Y in einen weiteren k-geringten Raum ist also genau
dann ein Morphismus, wenn ihre Restriktionen auf alle Ui Morphismen sind.
Übung 4.1.29 (Finalität ist lokal in der Basis). Ist ein Morphismus von kgeringten
Räumen f : Y → X final, so ist auch für jede offene Teilmenge U ⊂◦
X die induzierte Abbildung f −1 (U) → U final für die induzierten Strukturen.
Ist umgekehrt f : Y → X ein Morphismus von k-geringten Räumen und
besitzt X eine offene Überdeckung U derart, daß f : f −1 (U) → U für alle
U ∈ U final ist, so ist unser Morphismus bereits selbst final.
4.2 Mannigfaltigkeiten
Definition 4.2.1. Sei k ein Kring und M eine Menge von k-geringten Räumen.
Unter einer Mannigfaltigkeit mit Modellen M oder kurz einer
M-Mannigfaltigkeit verstehen wir einen k-geringten Hausdorffraum derart,
daß jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt, die als k-geringter Raum
isomorph ist zu einer offenen Teilmenge eines unserer Modelle aus M. Ein
Morphismus von Mannigfaltigkeiten ist ein Morphismus der zugrundeliegenden
k-geringten Räume. Ein Isomorphismus ist ein bijektiver Morphismus,
dessen Umkehrung auch ein Morphismus ist.
4.2.2. Die meisten Autoren fordern von einer Mannigfaltigkeit zusätzlich, daß
der zugrundeliegende topologische Raum “parakompakt” sein soll oder sogar,
daß er separabel ist im Sinne von IV.6.3.13, d.h. eine abzählbare Basis der