Analysis

4 INHALTSVERZEICHNIS
2.1 Konvergenz von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.2 Vollständigkeit der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . 116
2.3 Vergleich von Q und R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.4 Die Kreiszahl π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.5 Grenzwerte von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.6 Wachstum und Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.1 Definition und erste Beispiele . . . . . . . . . . . . . . 140
3.2 Umkehrfunktionen und Zwischenwertsatz . . . . . . . . 146
3.3 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.4 Stetige Funktionen auf Kompakta . . . . . . . . . . . . 163
3.5 Integration stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . 166
4 Differentiation und Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.1 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.2 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.3 Folgerungen aus Eigenschaften der Ableitung . . . . . . 182
4.4 Regeln von de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
4.5 Zusammenhang zwischen Integral und Ableitung . . . . 196
4.6 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4.7 Hyperbolische trigonometrische Funktionen . . . . . . . 203
5 Potenzreihen und höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . 208
5.1 Funktionenfolgen und Potenzreihen . . . . . . . . . . . 208
5.2 Taylorentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.3 Rechnen mit Approximationen . . . . . . . . . . . . . . 220
5.4 Der Abel’sche Grenzwertsatz* . . . . . . . . . . . . . . 224
6 Stetigkeit in mehreren Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . 227
6.1 Vorschläge zur Veranschaulichung . . . . . . . . . . . . 227
6.2 Stetigkeit bei metrischen Räumen . . . . . . . . . . . . 229
6.3 Konvergenz von Folgen in metrischen Räumen . . . . . 235
6.4 Abgeschlossene und offene Teilmengen . . . . . . . . . 238
6.5 Topologische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.6 Grenzwerte in topologischen Räumen . . . . . . . . . . 247
6.7 Kompakte metrische Räume . . . . . . . . . . . . . . . 250
6.8 Affine Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
6.9 Normierte Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
6.10 Überdeckungen kompakter metrischer Räume . . . . . 261
6.11 Integrale mit Parametern . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
7 Raumwertige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
7.1 Bogenlänge in metrischen Räumen . . . . . . . . . . . 267
7.2 Ableiten von raumwertigen Funktionen . . . . . . . . . 269
7.3 Die Bogenlänge in normierten Räumen . . . . . . . . . 275