Analysis

3. SPEKTRALTHEORIE IN HILBERTRÄUMEN 731
Ein projektorwertiges Maß mit der zusätzlichen Eigenschaft Φ(X) = idH
nennen wir eine Teilung der Identität von H.
Übung 3.6.4. Sei (X, M) ein Meßraum und H ein Hilbertraum. Wir erhalten
zueinander inverse Bijektionen zwischen teilraumwertigen Maßen und projektorwertigen
Maßen vermittels der Zuordnungen E ↦→ ΦE mit ΦE(M) der
orthogonalen Projektion auf E(M) und Φ ↦→ EΦ mit EΦ(M) = im Φ(M)
dem Bild des Projektors Φ(M).
Übung 3.6.5. Ist (X, M) ein Meßraum, H ein Hilbertraum und Φ : M →
B(H) ein projektorwertiges Maß, so ist für jeden Vektor v ∈ H die Zuordnung
M ↦→ 〈v, Φ(M)v〉 ein nichtnegatives endliches Maß 〈v, Φv〉 auf
(X, M), und stimmen bei zwei projektorwertigen Maßen für alle Vektoren v
diese nichtnegativen Maße überein, so stimmen die besagten projektorwertigen
Maße bereits selbst überein. Hinweis: Gegeben ein orthogonaler Projektor
alias selbstadjungierter Idempotenter P auf einem Hilbertraum gilt
ker P = {v | 〈v, P v〉 = 0}.
3.6.6. Gegeben ein Meßraum (X, M) bezeichne L ∞ (X) den Vektorraum aller
beschränkten meßbaren Abbildungen X → C mit der Supremumsnorm.
Man erkennt leicht, daß die meßbaren Stufenfunktionen darin einen dichten
Teilraum bilden.
Lemma 3.6.7 (Integration nach projektorwertigen Maßen). Gegeben
ein Meßraum (X, M), ein Hilbertraum H und ein projektorwertiges Maß
Φ : M → B(H) gibt es genau eine stetige lineare Abbildung
L ∞ (X) → B(H)
f ↦→ fΦ = f(x)Φ〈x〉
vom Raum aller beschränkten meßbaren Funktionen auf X in den Raum aller
beschränkten Operatoren auf unserem Hilbertraum mit der Eigenschaft,
daß der charakteristischen Funktion jeder meßbaren Menge der entsprechende
Projektor zugeordnet wird, in Formeln [M]Φ = Φ(M) ∀M ∈ M.
Beweis. Auf meßbaren Stufenfunktionen s : X → C muß unsere Abbildung,
wenn es sie denn überhaupt gibt, gegeben sein durch die Formel
sΦ =
z · Φ(s −1 (z))
z∈C
Wir haben gewonnen, sobald wir zeigen können, daß mit dieser Regel für
jede Stufenfunktion s die Abschätzung sΦ ≤ s∞ gilt, da sich unsere
Abbildung dann nach 1.4.17 und 3.6.6 auf genau eine Weise stetig und linear