Analysis

4. SCHROTTHALDE ZUR ANALYSIS 1301
1. Für alle t > s ≥ 0 ist Bt − Bs eine normalverteilte Zufallsvariable auf
dem Pfadraum Ω mit Erwartungswert Null und Varianz t − s;
2. Gegeben Zeitpunkte 0 ≤ t(0) < t(1) < t(2) < . . . < t(n) ist die Familie
von Zufallsvariablen (Bt(i) − Bt(i−1))1≤i≤n stochastisch unabhängig.
4.10.6. Die Borel’sche σ-Algebra zur kompakt-offenen Topologie auf dem Pfadraum
Ω kann auch beschrieben werden als die kleinste σ-Algebra, für die
alle Auswertungen Bt : Ω → R meßbar sind. In der Tat sind alle Auswertungen
in der kompakt-offenen Topologie sogar stetig. Andererseits wird die
σ-Algebra zur kompakt-offenen Topologie auch erzeugt von dem Mengen
Ω(K, A) := {γ | γ(K) ⊂ A}
für K ⊂ R≥0 kompakt und A ⊂ V R abgeschlossen. Wählen wir nun aber in
K eine abzählbare dichte Teilmenge N, so gilt Ω(K, A) =
t∈N B−1 t (A).
4.10.7. Gegeben E ⊂ R≥0 eine endliche Menge von Zeitpunkten und eine
Teilmenge A ⊂ Ens(E, R) aus dem von allen Produkten von |E| Intervallen
erzeugten Mengenring betrachten wir die Menge aller Pfade
Ω(E; A) := {γ ∈ Ω | γ|E ∈ A}
mit durch A vorgeschriebenem Verhalten auf E. Die Ω(E; A) bilden in Ω
einen Mengenring und es ist nicht schwer zu sehen, welchen Wert jedes Wienermaß
jedem Ω(E; A) zuordnen muß. Da fraglicher Mengenring bereits die
Borel’sche σ-Algebra auf dem Pfadraum erzeugt, zeigt der Maßfortsetzungssatz
von Caratheodory IV.6.2.10 damit bereits die Eindeutigkeitsaussage aus
unserem Satz, und um auch die Existenz eines Wienermaßes zu zeigen, reicht
es nachzuweisen, daß unsere Formeln bereits ein Prämaß liefern.
Beweis. Die Eindeutigkeit Noch zu schreiben.
Von hier ab isses unausgegoren.
Definition 4.10.8. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, I ⊂ R ein
Intervall und F = (Ft)t∈I eine durch I induzierte Familie von σ-Algebren
Ft ⊂ A mit t ≤ s ⇒ Ft ⊂ Fs. Bezeichne L 2 (Ω × I; F) ⊂ L 2 (Ω × I) die
Menge aller quadratintegrierbaren Funktionen f mit der Eigenschaft, daß
ft : ω ↦→ f(ω, t) meßbar ist bezüglich Ft für alle t ∈ I.
Beispiel 4.10.9. Gegeben c ∈ I und fc ∈ L 2 (Ω; Fc) eine quadratintegrierbare
Fc-meßbare Funktion gehört für jedes d ∈ I mit d ≥ c die Funktion (ω, t) ↦→
fc(ω)χ[c,d)(t) zu L 2 (Ω × I; F).