Analysis

6. MASS UND INTEGRAL 565
Vergleich der Resultate liefert die Behauptung. Genauer rechnen wir
R2 exp(−(x2 + y2 )) =
=
R R exp(−x2 ) exp(−y2 ) dx dy
∞
−∞ exp(−x2 2 ) dx
R2 exp(−(x2 + y2 )) =
R2 \{(x,0)|x≤0} exp(−(x2 + y2 =
)) dx dy
(0,∞)×(−π,π) exp(−r2 =
) r dr dθ
∞ π
0 −π exp(−r2 ) r dr dθ
= −π exp(−r2 )| ∞ 0
= π
Beispiel 6.8.15. Es sollte wohl irgendwann einmal gezeigt werden, daß mit
der in VIII.3.4.1 definierten Interpolation Γ : R≥1 → R der Zuordnung n ↦→
(n − 1)! und der Konvention x! := Γ(x + 1) gilt
(Volumen der Einheitskugel im R n ) = πn/2
(n/2)!
Übung 6.8.16. Gegeben ein von Null verschiedenes Polynom P ∈ R[x1, . . . , xn]
hat seine Nullstellenmenge P −1 (0) ⊂ R n Lebesgue-Maß Null. Hinweis: Induktion
über den Grad des Polynoms. Außerhalb der kritischen Stellen ist P −1 (0)
eine Untermannigfaltigkeit.
6.9 Flächenmaß
Satz 6.9.1. Auf jeder Untermannigfaltigkeit M ⊂ Rn gibt es genau ein topologisches
Maß σ = σM derart, daß für jede Karte ϕ : W → M und jede
topologisch meßbare Menge A ⊂ ϕ(W ) gilt
σ(A) = det(dxϕ) ⊤ (dxϕ) d k x
ϕ −1 (A)
mit dem Lebesgue-Integral über ϕ −1 (A) ⊂ W ⊂◦ R k auf der rechten Seite.
Dieses Maß heißt das Flächenmaß von M. Es ist ein Borelmaß. Jede in M
enthaltene Mannigfaltigkeit N echt kleinerer Dimension ist für das Flächenmaß
von M eine Nullmenge.
6.9.2. Die hinter diesen Definitionen stehende Anschauung wurde bereits in
4.5.1 diskutiert. Man sieht leicht ein, daß das dort für stetige Funktionen
mit kompaktem Träger erklärte Integral mit ihrem Integral in Bezug auf