Analysis

2. FOURIERTRANSFORMATION 685
wie in IV.6.3.22 das Bildmaß f∗µ auf Y dadurch, daß man für jede meßbare
Menge A ⊂ Y setzt
(f∗µ)(A) = µ(f −1 (A))
Offensichtlich gilt id∗ µ = µ und für verknüpfbare Abbildungen haben wir
(f ◦ g)∗ = f∗ ◦ g∗.
Übung 2.4.10 (Integration über Bildmaße). Gegeben eine meßbare Abbildung
f : X → Y von Meßräumen und ein komplexes Maß µ auf X ist
die Variation des Bildmaßes nach oben beschränkt durch das Bildmaß der
Variation, in Formeln
|f∗µ| ≤ f∗|µ|
Gehört für eine meßbare Funktion h : Y → C die Verknüpfung h ◦ f zu
L 1 (X; |µ|), so ist h integrierbar nach |f∗µ| und es gilt
h (f∗µ) = (h ◦ f) µ
Y
Übung 2.4.11 (Bilder von Produktmaßen). Gegeben meßbare Abbildungen
f : X → X ′ und g : Y → Y ′ und µ ∈ M(X) und ν ∈ M(Y ) komplexe
Maße, so ist das Bildmaß ihres Produkts das Produkt der Bildmaße, in Formeln
(f × g)∗(µ ⊠ ν) = (f∗µ) ⊠ (g∗ν)
2.4.12. Die Fouriertransformierte µ ∧ eines komplexen Maßes ist notwendig
beschränkt und stetig. Um das zu sehen, darf man ohne Beschränkung der
Allgemeinheit µ endlich positiv annehmen, und dann ist µ(V ) eine Schranke
für |µ ∧ | und man folgert die Stetigkeit von µ ∧ leicht aus dem Satz über
dominierte Konvergenz in Verbindung mit II.6.3.9.
Übung 2.4.13 (Natürlichkeit der Fouriertransformation). Ist L : V →
W eine lineare Abbildung endlichdimensionaler reeller Vektorräume und µ ein
komplexes Maß auf V, so stimmt die Fouriertransformation seines Bildmaßes
überein mit der Fouriertransformation des Maßes selbst verknüpft mit der
auf den Charakteren induzierten Abbildung, in Formeln
X
(L∗µ) ∧ = µ ∧ ◦ ˆ L
oder anders ausgedrückt: L-verwandte Maße haben ˆ L-verwandte Fouriertransformierte,
in Formeln (L : µ ❀ ν) ⇒ ( ˆ L : ν ∧ ❀ µ ∧ ). Spezieller zeige
man für die durch Multiplikation mit einer invertierbaren quadratischen
Matrix A gegebene Abbildung A : R n → R n und eine integrierbare Funktion
f ∈ L 1 (R n ) die Formel (f ◦ A) ∧ = | det A| −1 f ∧ ◦ (A ⊤ ) −1 . Sie verallgemeinert
2.1.6.5.