Analysis

3. SPEKTRALTHEORIE IN HILBERTRÄUMEN 755
Satz 3.11.9 und das a priori völlig unmotivierte Vorzeichen in 3.11.9 habe
ich nur eingeführt, damit ein kommutatives Dreieck entsteht, ohne daß wir
irgendwo anders ein noch unnatürlicheres Vorzeichen einführen müßten.
3.11.11. In der Quantenmechanik modelliert man die Menge aller möglichen
Zustände eines vorgegebenen physikalischen Systems als die Menge PH aller
eindimensionalen Teilräume eines Hilbertraums H. Messungen mit zwei
möglichen Resultaten – Ja oder Nein – modelliert man als abgeschlossene
Teilräume T ⊂ H. Wenden wir auf einen Zustand Cv ∈ PH eine Messung
T an, so gilt es, den Vektor v auf den vorgegebenen Teilraum T ⊂ H zu
projizieren vermittels des zugehörigen orthogonalen Projektors pr T , und das
Verhältnis von pr T (v) zu v 2 wird dann interpretiert als die Wahrscheinlichkeit
P (v) für das Meßergebnis “Ja”, in Formeln
P (v) = pr T (v) 2
v 2
Feinere Messungen, die als Meßergebnisse etwa beliebige reelle Zahlen liefern
können, modelliert man als Teilungen Φ der Identität von H, die etwa auf
der reellen Zahlengeraden definiert sind, und interpretiert dann für jede Borelmenge
M ⊂ R den Projektor Φ(M) in der Weise, daß Φ(M)v 2 /v 2 die
Wahrscheinlichkeit dafür angibt, daß der Zustand Cv bei unserer Messung
ein Resultat aus M liefert.
Übung 3.11.12. Ist Φ eine kompakte getragene auf R definierte Teilung der
Identität eines Hilbertraums H und T der zugehörige selbstadjungierte Operator,
so ist 〈T v, v〉/v 2 der Erwartungswert für das Ergebnis, das man
erhält, wenn man die durch Φ beschriebene Messung auf den Zustand Cv
anwendet. Das ist im übrigen genau die Zahl, für die wir im Beweis von ??
die Bezeichnung als “Raleigh-Quotient” eingeführt hatten.
3.11.13. Eine partiell definierte lineare Abbildung von Banachräumen heißt
ein abgeschlossener Operator genau dann, wenn ihr Graph abgeschlossen
ist im Produktraum. Das ist nicht zu verwechseln mit dem Begriff der
Abgeschlossenheit für Abbildungen zwischen topologischen Räumen. Gleichbedeutend
ist die Forderung, daß für eine konvergente Folge vn im Definitionsbereich
unseres Operators, für die auch die Folge der Bilder T vn konvergiert,
der Grenzwert v auch im Definitionsbereich unseres Operators liegt
und zusätzlich gilt T vn → T v. Man kann zeigen, daß jeder unbeschränkte
selbstadjungierte Operator abgeschlossen ist.