Analysis

1402 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
Satz 3.3.3 (Produktentwicklung). Sei X eine Menge und (fν) eine Folge
komplexwertiger Funktionen auf X mit der Eigenschaft, daß die Folge der
Partialsummen n
ν=1 |fν(x)−1| gleichmäßig gegen eine beschränkte Funktion
konvergiert. So konvergiert auch die Folge der Partialprodukte n
ν=1 fν(x)
gleichmäßig gegen eine beschränkte Funktion X → C, die wir
x ↦→
∞
fν(x)
ν=1
notieren und deren Nullstellen genau die Stellen x ∈ X sind, an denen einer
der Faktoren verschwindet. Darüber hinaus ist der Grenzwert der Partialprodukte
unter den gegebenen Voraussetzungen unabhängig von der Reihenfolge
der Faktoren.
3.3.4. Hat in dieser Situation keine der Funktionen fν eine Nullstelle, so kon-
vergiert mit n
ν=1 |fν(x)−1| auch n
ν=1 |(fν(x)) −1 −1| für n → ∞ gleichmäßig
gegen eine beschränkte Funktion. In der Tat zeigt man für z hinreichend
nah bei 1 leicht die Abschätzung |z −1 − 1| ≤ 2|z − 1|. Hat keine der Funk-
tionen fν eine Nullstelle, so können wir unseren Satz mithin auch auf die
anwenden.
Funktionen f −1
ν
3.3.5. Ist X ein metrischer oder allgemeiner ein topologischer Raum und sind
die fν stetig und konvergiert die Folge der Partialsummen n ν=1 |fν(x) − 1|
kompakt gegen eine reelle Grenzfunktion, so konvergiert auch die Folge der
Partialprodukte n ν=1 fν(x) kompakt gegen eine komplexe Grenzfunktion.
Um das zu zeigen, brauchen wir nur 3.3.3 auf die Einschränkungen unserer
Funktionen auf Kompakta anzuwenden.
Beweis. Ableiten liefert für den Hauptzweig des Logarithmus die Formel
log(1 + z)
lim
z→0 z
Es gibt also d ∈ (0, 1) derart, daß aus |z| < d folgt | log(1 + z)| ≤ 3|z|/2. Nun
gibt es sicher ein N mit ∞
ν=N |fν(x) − 1| ≤ d für alle x ∈ X, und für ν ≥ N
sind alle log(fν(x)) wohldefiniert und nach unserer Abschätzung und dem
Majorantenkriterium muß auch die Folge der Funktionen n
ν=N log(fν(x))
gleichmäßig konvergieren gegen eine betragsmäßig beschränkte Grenzfunktion
L : X → C. Wenden wir exp an und beachten, daß exp auf jedem
Kompaktum in C gleichmäßig stetig ist, so folgt die gleichmäßige Konver-
genz der partiellen Produkte n
ν=N fν(x) gegen eine beschränkte Funktion
X → C ohne Nullstelle, nämlich gegen exp ◦L. Der Satz folgt, da wieder
nach unserer Annahme die Faktoren mit 1 ≤ ν < N und damit auch ihr
= 1