Analysis

4. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN 893
Tangentialbündeln T(G × G) → TG liefert. Mit einigen kanonischen Identifikationen
und Einbettungen liefert das ein kommutatives Diagramm
G × TG
G × TeG
∼
TG × TG
T(G × G)
TG
TeG
dessen untere Zeile (x, v) ↦→ (Ad x)(v) dann auch eine glatte Abbildung sein
muß. Das zeigt, daß Ad : G → Aut TeG glatt ist. Das kommutative Diagramm
im letzten Teil unseres Lemmas ergibt sich schließlich, indem man im
kommutativen Diagramm
int x
G ϕ
H
G ϕ
H
int ϕ(x)
zu den Differentialen an den neutralen Elementen übergeht.
Definition 4.8.15. Das Differential im Sinne von 4.8.10 der adjungierten
Darstellung Ad : G → Aut(TeG) wird notiert als
ad := de Ad : Lie G → gl(TeG)
Beispiel 4.8.16. Im Fall der Gruppen G = GL(n; K) oder allgemeiner der
Gruppen G = Aut V haben wir (ad A)(B) = AB−BA. In der Tat ist das Auswerten
an B ∈ End V eine lineare Abbildung ausB : End(End V ) → End V ,
es gilt also de(ause ◦ Ad) = ausB ◦ ad. Nun gilt weiter (ausB ◦ Ad)(x) =
(Ad x)(B) = xBx −1 . Um das Differential dieser Abbildung zu berechnen,
schreiben wir sie als Verknüpfung
Aut V → End V × End V → End V
x ↦→ (x, x −1 ), (y, z) ↦→ yBz
Hier ist nun das Differential der ersten Abbildung beim neutralen Element
nach 4.3.20 gegeben durch A ↦→ (A, −A) und das Differential der zweiten
beim Bild des neutralen Elements nach IV.1.4.5 durch (C, D) ↦→ (CB + BD)
und das Differential der Verknüpfung ist folglich gegeben durch A ↦→ AB −
BA. Damit erhalten wir schließlich (ad A)(B) = AB − BA = [A, B] wie
gewünscht.
Proposition 4.8.17 (Differential der adjungierten Darstellung). Gegeben
eine Liegruppe G gilt für alle X, Y ∈ Lie G die Formel
(ad X)(Y ) = [X, Y ]