Analysis

790 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
auch den Geschwindigkeitsvektor bei t = 0 der Kurve t ↦→ Ad(exp(tX))(Y )
auf den Geschwindigkeitsvektor bei t = 0 der Kurve t ↦→ Ad(exp(t ¯ X))( ¯ Y )
abbilden, und nach 1.5.2 oder besser seinem Beweis läßt sich diese Erkenntnis
in der Tat schreiben als die behauptete Verträglichkeit des Differentials
unseres Gruppenhomomorphismus mit der Lieklammer
deϕ : [X, Y ] ↦→ [ ¯ X, ¯ Y ]
Übung 1.6.11. Bezeichne S 1 die Gruppe aller komplexen Zahlen der Norm
Eins. Man zeige, daß jeder stetige Gruppenhomomorphismus S 1 → C × die
Gestalt z ↦→ z n hat für genau ein n ∈ Z. Hinweis: V.1.6.2. Man konstruiere
des weiteren eine Bijektion zwischen der Menge aller stetigen Gruppenhomomorphismen
(S 1 ) m → (S 1 ) n und der Menge Mat(n × m; Z) aller (n × m)-
Matrizen mit ganzzahligen Einträgen.
Übung 1.6.12. Man zeige, daß jeder nicht konstante stetige Gruppenhomomorphismus
SO(3) → SO(3) von der Gestalt (int g) ist für genau ein g ∈
SO(3). Hinweis: Man erinnere sich, daß die Liealgebra von SO(3) identifiziert
werden kann mit dem R 3 mit Kreuzprodukt, und diskutiere, welche linearen
Abbildungen R 3 → R 3 mit dem Kreuzprodukt verträglich sind.
Übung 1.6.13. Sei X ein endlichdimensionaler reeller Raum. Man zeige: Ist
M ⊂ X eine glatte Untermannigfaltigkeit, so ist auch das Tangentialbündel
TM ⊂ X × X aus IV.7.3.1 eine glatte Untermannigfaltigkeit. Weiter liefern
für jede glatte Abbildung f : M → N in eine weitere glatte eingebettete
Mannigfaltigkeit auch die Differentiale dpf : TpM → Tf(p)N eine glatte
Abbildung df : TM → TN. Hinweis: IV.4.3.14.
Übung 1.6.14. Das Differential des Invertierens inv : G → G auf einer Matrix-
Liegruppe beim neutralen Element ist die Punktspiegelung am Ursprung auf
dem Tangentialraum, in Formeln de inv = ((−1)·) : TeG → TeG.
Übung 1.6.15 (Liealgebra eines Kerns). Gegeben ein glatter Homomorphismus
von Matrix-Liegruppen ϕ : G → H zeige man mit 1.2.11 die Formel
Lie(ker ϕ) = ker(deϕ) und allgemeiner für K ⊂ H eine abgeschlossene Untergruppe
Lie(ϕ −1 (K)) = {x ∈ Lie G | (deϕ)(x) ∈ Lie K}
Daraus folgt im Übrigen mit IV.1.5.8 auch sofort die in 1.2.16 bereits elementar
gezeigte Beziehung Lie(SL(n; R)) = sl(n; R). Mit 4.6.23 wird dasselbe
auch allgemeiner für abstrakte Liegruppen folgen.
Übung 1.6.16 (Liealgebra einer Gruppe von Fixpunkten). Gegeben ein
G eine Matrix-Liegruppe und ϕ : G ∼ → G ein glatter Automorphismus von G
ist die Liealgebra der Gruppe der Fixpunkte G ϕ = {g ∈ G | ϕ(g) = g} von