Analysis

970 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Beispiel 7.1.9. Wir betrachten in der reellen euklidischen Ebene r Geraden
durch den Ursprung derart, daß “je zwei benachbarte Geraden denselben
Winkel π/r einschließen”. Diese r Geraden sind die Spiegelebenen einer endlichen
euklidischen Spiegelungsgruppe, der sogenannten Diedergruppe Dr.
Sie besteht aus den r Spiegelungen an unseren r Geraden sowie den r Drehungen
um die Winkel 2πν/r für ν = 0, 1, . . . , r − 1.
Beispiel 7.1.10. Wir betrachten im R n für 1 ≤ i < j ≤ n die Hyperebenen
Hi,j = {(x1, . . . , xn) | xi = xj}. Die orthogonale Spiegelung s an der Hyperebene
Hi,j kann auch beschrieben werden als die Vertauschung der i-ten
und der j-ten Koordinate, s(. . . , xi, . . . , xj, . . .) = (. . . , xj, . . . , xi, . . .), denn
besagte Vertauschung ist orthogonal und Hi,j ist die Menge ihrer Fixpunkte.
Diese Spiegelungen erzeugen eine endliche Spiegelungsgruppe, die in offensichtlicher
Weise isomorph ist zur symmetrischen Gruppe Sn.
Beispiel 7.1.11. Die orthogonalen Spiegelungen an denjenigen Ebenen des
R 3 , die senkrecht stehen auf den Kantenmitten der Kanten eines im Ursprung
zentrierten Tetraeders, erzeugen eine endliche euklidische Spiegelungsgruppe,
die isomorph ist zur Gruppe aller 24 Permutationen der vier Ecken unseres
Tetraeders.
Beispiel 7.1.12. Die orthogonalen Spiegelungen an den Koordinatenebenen
des R n erzeugen eine endliche euklidische Spiegelungsgruppe mit 2 n Elementen.
7.1.13. Ich erinnere daran, daß nach ?? eine Teilmenge eines Vektorraums
über einem angeordneten Körper konvex heißt genau dann, wenn sie mit je
zwei Punkten auch das ganze dazwischenliegende Geradensegment enthält.
Definition 7.1.14. Sei V ein Vektorraum über einem angeordneten Körper
und W ⊂ GL(V ) eine endliche Spiegelungsgruppe. Die maximalen konvexen
Teilmengen im Komplement der Vereinigung aller Spiegelebenen
V \
s∈W ist
Spiegelung
heißen die Weylkammern oder Alkoven unserer Spiegelungsgruppe.
Ergänzung 7.1.15. Im Fall k = R und dim V < ∞ können wir die Alkoven
auch als die Zusammenhangskomponenten von besagtem Komplement
beschreiben, wenn wir V mit seiner natürlichen Topologie versehen.
7.1.16. Wir wollen als nächstes zeigen, daß jede endliche Spiegelungsgruppe
frei und transitiv auf der Menge ihrer Alkoven operiert. Die Transitivität ist
V s