Analysis

568 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
folgt leicht aus 6.8.6. Um zu zeigen, daß unser Flächenmaß endlich ist auf
Kompakta K ⊂ M, wählen wir zunächst mithilfe von II.6.10.3 eine endliche
Überdeckung von K durch offene Mengen V1, . . . , Vr ⊂◦ Rn , in denen M jeweils
plättbar ist, so daß insbesondere gilt (M ∩Vi)⊂ V Vi für i = 1, . . . , r. Dann betrachten
wir eine Teilung der Eins nach 4.4.10 und finden also αi : Rn → [0, 1]
stetig mit kompaktem in Vi enthaltenem Träger und r i=1 αi(x) = 1 für alle
x ∈ K. Es reicht also zu zeigen
M αi(x)σ〈x〉 < ∞ für alle i. Ist aber
ϕ : W ∼ → M ∩ Vi die zu einer entsprechenden Plättung gehörige Karte, so
haben wir
αi(x)σ〈x〉 = (αi ◦ ϕ)(x) vol(dxϕ) d
M
W
k x < ∞
da ja (supp αi) ∩ M ∩ Vi und damit auch supp(αi ◦ ϕ) kompakt ist.
Beispiel 6.9.6 (Oberfläche der Einheitskugel). Wir machen nun unsere
heuristische Argumentation aus 4.5.5 präzise und zeigen für die Oberfläche
der Einheitskugel die Formel
σ = 4π
S 2
Lassen wir aus der Kugelschale S2 den Äquator weg, also alle Punkte (x, y, z)
mit z = 0, und dazu noch einen halben Großkreis von Pol zu Pol, sagen wir
alle Punkte (x, y, z) mit y = 0 und x ≤ 0, so ändert sich nach 6.9.1 das
Integral nicht. Der Rest ist die disjunkte Vereinigung von zwei geschlitzten
offenen Hemisphären U+ ∪ U− und U± und unsere Rechnung aus 4.5.5 zeigt
bereits
σ = 2π.
U±
Übung 6.9.7 (Oberfläche eines Rotationskörpers). Sei I ⊂ R ein offenes
Intervall und f : I → (0, ∞) stetig differenzierbar. So ist die Mantelfläche
M = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 = (f(z)) 2 } eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit
des R3 mit der Oberfläche
σ = 2π f(z)
M
I
1 + (f ′ (z)) 2 dz
Allgemeiner zeige man für das Bildmaß des Oberflächenmaßes unter der orthogonalen
Projektion p : M → I unserer Mantelfläche auf die z-Achse die
Formel p∗σ = 2πf(z) 1 + (f ′ (z)) 2 dz. Ist speziell M die Einheitskugel, so
zeige man p∗σ = 2π dz und berechne nochmals die Oberfläche der Einheitskugel.