Analysis

7. DER SATZ VON STOKES 615
orientierte Einheitskreis in der xy-Ebene S = {(x, y, z) | x 2 + y 2 = 1, z = 0}
und aus dem Satz von Stokes folgt
H
x 2
dx ∧ dy =
S
−x 2 y dx
Zur Sicherheit machen wir noch die Probe und landen mit
−x 2 2π
y dx = − cos 2 2π
ϕ sin ϕ d(cos ϕ) = cos 2 ϕ sin 2 ϕ dϕ
S
0
im wesentlichen bei demselben Integral wie dem, das wir bereits in 7.5.5
berechnet hatten. Genauer wird der fehlende Faktor 2 von π
sin ϕ dϕ in der
0
Rechnung dort hier dadurch ausgeglichen, daß das Integral bis 2π läuft.
Beweis. Gilt die Aussage für ω und ω ′ , so auch für ω + ω ′ . Wir können also
nach II.6.10.3 und 4.4.10 ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen,
daß es eine zusammenhängende Randkarte (W, ϕ) von M gibt, die eine Orientierung
hat und derart, daß gilt (supp ω ∩M) ⊂ ϕ(W ). Ist ε die Orientierung
unserer Randkarte, so gilt per definitionem und da die äußere Ableitung ver-
tauscht mit dem Zurückholen
dω = ε
M
W
ϕ ∗
(dω) = ε d(ϕ
W
∗ ω)
Bezeichnet ( ¯ W , ¯ϕ) wie in 7.7.21 die induzierte Karte des Randes und i :
R k → R≤0 × R k , x ↦→ (0, x) die offensichtliche Einbettung, so gilt nach
unseren Definitionen und wegen ¯ϕ = ϕ ◦ i und ¯ W = i −1 (W ) auch
∂ M
ω = ε
¯W
¯ϕ ∗
ω = ε
i−1 i
W
∗ (ϕ ∗ ω)
Bezeichnen wir mit η die Fortsetzung durch Null von ϕ ∗ ω auf den ganzen
Halbraum, so reduziert sich der Satz auf einen Spezialfall, den wir im Anschluss
als eigenständiges Lemma formulieren und beweisen.
Lemma 7.8.8. Bezeichne i : R k → R≤0 × R k wie zuvor die offensichtliche
Einbettung und sei η eine stetig differenzierbare k-Form mit kompaktem
Träger auf R≤0 × R k . So gilt
R k
i ∗
η =
R≤0×R k
dη
0