Analysis

3. STETIGKEIT 153
3.2.14. Die Notation “log” ist leider nicht universell. Auf vielen Taschenrechnern
und auch in älteren Büchern wird unsere Funktion “log” notiert als
“ln” für “logarithmus naturalis” oder “logarithme Néperien” und das Kürzel
“log” steht für den “Logarithmus zur Basis 10”, den wir in 3.2.17 einführen
und mit log 10 bezeichnen werden. Der Logarithmus zur Basis 10 wird in
manchen Quellen auch der “Brigg’sche Logarithmus” genannt und mit “lg”
bezeichnet. Die Norm ISO 31-11 empfiehlt die Notationen “ln” und “lg”, wir
verwenden jedoch log statt ln, weil das in der reinen Mathematik so üblich
ist und wir damit der Konvention folgen, spezielle Funktionen nach Möglichkeit
mit Kürzeln aus drei Buchstaben zu notieren. “Logarithmus” ist das
griechische Wort für “Rechnung”, und für das Rechnen waren die Logarithmentafeln,
in denen die Werte des Logarithmus zur Basis Zehn aufgelistet
wurden, auch außerordentlich praktisch: Mit ihrer Hilfe konnte man nämlich
Divisionen in Subtraktionen verwandeln und Wurzelziehen in Divisionen, wie
wir gleich näher ausführen. Die Entdeckung der Logarithmen und die ersten
Logarithmentafeln von Napier bedeuteten für die damalige Wissenschaft eine
ungeheure Arbeitserleichterung und wurden begeistert begrüßt.
Definition 3.2.15 (Allgemeine Potenzen). Gegeben a, x ∈ R mit a > 0
setzen wir
a x := exp(x log a)
Im Fall x > 0 vereinbart man zusätzlich 0 x = 0. Das führt dazu, daß für
x > 0 die Funktion a ↦→ a x sogar stetig ist auf [0, ∞). Es führt allerdings
auch dazu, daß die Funktion x ↦→ 0 x mit unserer Konvention 0 0 = 1 zwar
auf [0, ∞) definiert aber bei x = 0 nicht stetig ist. Damit müssen wir nun
weiterleben.
3.2.16. Man prüft ohne Schwierigkeiten die Formeln a 0 = 1, a 1 = a und
a x+y = a x a y und folgert insbesondere, daß im Fall a > 0 und n ∈ Z oder
a ≥ 0 und n ∈ Z≥1 das hier definierte a n übereinstimmt mit unserem a n aus
der Tabelle am Ende von Abschnitt I.1. Für beliebige a, b > 0 und x, y ∈ R
prüft man leicht die Rechenregeln a xy = (a x ) y , (ab) x = a x b x und log(a x ) =
x log a. Ist speziell a = e die Euler’sche Zahl, so gilt log e = 1 und folglich
exp(x) = e x . Für beliebige a, b ≥ 0, x, y ∈ R>0 und q ∈ N, q ≥ 1 prüft man
ebensoleicht die Rechenregeln a xy = (a x ) y , (ab) x = a x b x und q√ a = a 1/q .
Definition 3.2.17. Gegeben a > 0 nennt man die Umkehrabbildung der
Abbildung x ↦→ a x auch den Logarithmus zur Basis a
log a : (0, ∞) → R