Analysis

3. WEGINTEGRALE 405
auf der rϑ-Ebene, der auf dem Komplement der Nullstellenmenge von r auch
wieder eine Riemann’sche Metrik ist. Daß hier keine gemischten Tensoren
dr ⊗dϑ auftreten, hat den Grund, daß die Vektorfelder ∂r und ∂ϑ auch in der
xy-Ebene an jedem Punkt aufeinander senkrecht stehen. Die Koeffizienten 1
und r2 bedeuten gerade die quadrierten Längen s(∂r, ∂r) und s(∂ϑ, ∂ϑ) der
Vektoren dieser Vektorfelder. Für eine Funktion f = f(x, y) muß schließlich
df unter P verwandt sein zu d(f ◦P ), und dann muß auch grad f = grads f =
can−1 s (df) verwandt sein zu
gradg(f ◦ P ) = can −1
g d(f ◦ P ) = can −1
g (fr dr + fϑ dϑ) = fr∂r + 1
fϑ∂ϑ 2
Damit haben wir die Darstellung des Gradienten in Polarkoordinaten ein
weiteres Mal hergeleitet.
Ergänzung 3.2.10. Ingenieure arbeiten gerne mit einer anderen Darstellung
von Vektorfeldern und betrachten etwa auf dem R 2 die auf euklidische Länge
Eins normierten Vektorfelder er = ∂r und eϑ = r −1 ∂ϑ. Natürlich kann jedes
Vektorfeld v auf dem Komplement des Ursprungs auch als v = aer + beϑ
geschrieben werden mit geeigneten reellwertigen Funktionen a, b. In Formelsammlungen
findet man häufig Formeln für Gradienten und dergleichen
in dieser Darstellung, zum Beispiel hätten wir grad f = (∂rf)er +r −1 (∂ϑf)eϑ.
Meist heißen die Koeffizienten eines Vektorfelds v = aer+beϑ dann auch noch
a = vr, b = vϑ. Das verbietet sich für uns jedoch, da wir die Indexnotation
bereits als Kürzel für partielle Ableitungen verwenden.
Beispiel 3.2.11. Die Kugelkoordinaten im Raum werden beschrieben durch
eine geeignete Einschränkung der Abbildung
K : R 3 → R 3
(r, ϑ, ϕ) ↦→ (r cos ϕ sin ϑ, r sin ϕ sin ϑ, r cos ϑ)
deren anschauliche Bedeutung in nebenstehendem Bild erläutert wird.
Übung 3.2.12. Man zeige, daß die Standardmetrik im xyz-Raum unter Kugelkoordinaten,
wie sie 3.2.11 eingeführt werden, verwandt ist zur Metrik
g = dr ⊗2 + r 2 dϑ ⊗2 + (r sin ϑ) 2 dϕ ⊗2
Übung 3.2.13. Man zeige, daß der Gradient in Kugelkoordinaten, wie sie
3.2.11 eingeführt werden, ausgedrückt wird durch die Formel
grad f = fr∂r + r −2 fϑ∂ϑ + (r sin ϑ) −2 fϕ∂ϕ
r