Analysis

1. HOLOMORPHE FUNKTIONEN 1335
Definition 1.3.2. Ist γ : [a, b] → C ein stetig differenzierbarer Weg und f
eine stetige auf seinem Bild definierte komplexwertige Funktion, so definieren
wir das Wegintegral der Funktion f über den Weg γ, eine komplexe
Zahl
f(z) dz, durch die Vorschrift
γ
b
f(z) dz := f(γ(t))γ ′ (t) dt
γ
a
Ist allgemeiner γ stückweise stetig differenzierbar im Sinne von IV.3.6.3, so
nennen wir γ einen Integrationsweg und definieren das Wegintegral ähnlich
wie in IV.3.6.4 als die Summe der Wegintegrale über seine maximalen stetig
differenzierbaren Teilstücke.
Ergänzung 1.3.3. In 1.5.4 erlären wir die Bedeutung von f(z) dz als “komplexwertiges
Kovektorfeld” und besprechen, in welcher Weise die vorstehende
Definition eine Verallgemeinerung unserer Definition des Wegintegrals über
Kovektorfelder aus IV.3.3 ist.
1.3.4 (Anschauung für das komplexe Wegintegral). Auf der rechten
Seite ist γ ′ (t) ∈ C zu verstehen als Geschwindigkeit im Sinne von II.7.2.1
und das Integral der stetigen komplexwertigen Funktion f(γ(t))γ ′ (t) ist zu
verstehen als Integral einer vektorwertigen Funktion im Sinne von III.1.3.3,
der Realteil des Integrals ist also das Integral des Realteils von f(γ(t))γ ′ (t)
und der Imaginärteil des Integrals das Integral des Imaginärteils. Betrachtet
man in der Situation der Definition für alle r ≥ 1 die äquidistanten
Unterteilungen a = a0 ≤ a1 ≤ . . . ≤ ar = b und bildet die “Riemannsummen”
der nun in C zu bildenden Produkte
S r r
γ(f) = f(γ(ai)) (γ(ai) − γ(ai−1))
i=1
so ist unser Wegintegral mit denselben Argumenten wie in IV.3.3.4 der Grenzwert
der Folge der Riemannsummen
f(z) dz = lim S
r→∞ r γ(f)
γ
1.3.5 (Abschätzungen für das komplexe Wegintegral). Der Absolutbetrag
eines Wegintegrals ist beschränkt durch das Produkt der euklidischen
Länge des Weges im Sinne von II.7.1.1 mit dem Supremum der Absolutbeträge
der Funktionswerte auf dem Weg. Ist γ : [a, b] → C unser Integrationsweg,
so gilt also in Formeln
f(z) dz
≤
sup |f(γ(t))| L(γ)
t∈[a,b]
γ