Analysis

4. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN 905
Satz 4.10.7 (Diskrete Untergruppen reeller Vektorräume). Eine Untergruppe
der additiven Gruppe eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums
ist diskret genau dann, wenn sie als Untergruppe von einer linear
unabhängigen Teilmenge unseres Vektorraums erzeugt wird.
Beweis. Das Gruppenerzeugnis einer linear unabhängigen Teilmenge ist offensichtlich
diskret. Um auch die andere Implikation zu zeigen, versehen wir
unseren endlichdimensionalen reellen Vektorraum V mit einem Skalarprodukt
( , ) und argumentieren durch Induktion über die Dimension. Nach
3.3.4 trifft unsere diskrete Untergruppe L ⊂ V jedes Kompaktum in einer
endlichen Menge. Ist L trivial, so ist der Satz klar. Sonst finden wir in L\0
einen Vektor v kürzester Länge. Wir bezeichnen dann mit p : V ↠ v ⊥ die
orthogonale Projektion auf das orthogonale Komplement von v und behaupten,
daß auch p(L) diskret ist. Sonst finden wir nämlich in p(L)\0 Vektoren
beliebig kleiner Länge. Gegeben a ∈ p(L) hat jedoch sein Urbild in L die
Gestalt
p −1 (a) ∩ L = a + cv + Zv mit |c| ≤ 1/2
Insbesondere hat a + cv die quadrierte Länge a + cv2 ≤ a2 + 1
4v2 , und
für 0 < a < 1 erhielten wir Vektoren in L\0, die noch kürzer wären als v.
2
Dieser Widerspruch zeigt, daß p(L) diskret liegen muß. Nach Induktionsannahme
finden wir also linear unabhängige ¯v1, . . . , ¯vr ∈ v⊥ , die p(L) erzeugen.
Sind dann vi ∈ L Urbilder der ¯vi, so sind v, v1, . . . , vr linear unabhängig in
V und erzeugen L.
Definition 4.10.8. Eine topologische Gruppe heißt ein Torus oder präziser
ein kompakter Torus genau dann, wenn sie isomorph ist zu einem Produkt
von endlich vielen Kopien der Kreislinie S 1 . Die Zahl der benötigten Kopien
ist nach 4.6.18 wohlbestimmt und heißt der Rang unseres Torus.
4.10.9. Nach der Klassifikation in 4.10.2 zusammenhängender abelscher Liegruppen
kann man Tori auch charakterisieren als abelsche kompakte zusammenhängende
Liegruppen.
Definition 4.10.10. Eine topologische Gruppe heißt topologisch zyklisch
genau dann, wenn es ein Element darin gibt, dessen Erzeugnis dicht liegt.
Solch ein Element heißt dann ein topologischer Erzeuger.
4.10.11. Nach 3.7.12 ist jede topologisch zyklische topologische Gruppe kommutativ.
Proposition 4.10.12. Jeder kompakte Torus ist topologisch zyklisch.