Analysis

1. HOLOMORPHE FUNKTIONEN 1355
Damit steht unmittelbar da, daß die Homotopieinvarianz des Wegintegrals
von f(z) dz auch gleichbedeutend ist zu ∂f
∂f
= 0 alias zu df = dz und damit
∂¯z ∂z
dazu, daß das Differential der reell differenzierbaren Abbildung f : U → C
sogar komplexlinear ist.
1.5.8. Ebenso wie für unsere üblichen Kovektorfelder in IV.3.1.17 erklären wir
auch das Zurückholen vektorwertiger Kovektorfelder unter differenzierbaren
Abbildungen, und wie in IV.3.1.19 gilt wieder
d(f ◦ φ) = φ ∗ (df)
für φ : A → B differenzierbar und f : B → W eine differenzierbare vektorwertige
Funktion. Sind speziell A, B offen in C und ist φ : A → B holomorph,
so folgt
φ ∗ (dz) = dφ = φ ′ dw
Auch die Verträglichkeit des Wegintegrals mit Verwandtschaft IV.3.3.9 gilt in
derselben Weise für vektorwertige Kovektorfelder, in Formeln gilt also wieder
γ φ∗ω =
ω. Im Spezialfall einer holomorphen Abbildung φ erhalten wir
φ◦γ
insbesondere die bereits in Übung 1.3.18 zu prüfende Identität
f(z) dz = f(φ(w))φ ′ (w) dw
φ◦γ
Übung 1.5.9 (Rechnen mit Wirtinger-Ableitungen). Man zeige ∂ ¯ f
γ
∂¯z
= ∂f
∂z .
Man zeige weiter für w = w(z) eine reell differenzierbare Funktion von einer
offenen Teilmenge von C in eine offene Teilmenge von C, auf der hinwiederum
eine reell differenzierbare komplexwertige Funktion f definiert ist, die
Identitäten
∂f
∂z
∂f ∂w ∂f ∂ ¯w
= +
∂w ∂z ∂ ¯w ∂z
∂f
∂¯z
∂f ∂w ∂f ∂ ¯w
= +
∂w ∂¯z ∂ ¯w ∂¯z
Hinweis: Man gehe aus von den Identitäten d( ¯ f) = df und d(f ◦w) = w ∗ (df).
1.6 Integralformel von Cauchy
Satz 1.6.1 (Cauchy’s Integralformel). Seien U ⊂◦ C offen, f : U → C holomorph
und K ⊂ U eine ganz in U enthaltene abgeschlossene Kreisscheibe.
Bezeichnet ∂ K einen Weg, der auf dem Rand unserer Kreisscheibe einmal
im Gegenuhrzeigersinn umläuft, so gilt für alle Punkte w aus dem Inneren
unserer Kreisscheibe die Formel
f(w) = 1
2πi
∂ K
f(z)
z − w dz