Analysis

4. DIFFERENTIATION UND INTEGRATION 205
Eher selten benutzt man den Secans hyperbolicus x ↦→ 1/ cosh(x), den
Cosecans hyperbolicus x ↦→ 1/ sinh(x) und den Tangens hyperbolicus
tanh : x ↦→ sinh(x)/ cosh(x) sowie seine Umkehrung artanh : (−1, 1) ∼ → R.
4.7.4. Die Namen unserer Funktionen haben den folgenden Hintergrund: Für
t ∈ R durchläuft der Punkt mit Koordinaten (cosh t, sinh t) den Hyperbelast
{(x, y) ∈ R 2 | (x + y)(x − y) = 1, x > 0}
und zwar ist |t/2| gerade die Fläche oder lateinisch “area”, die zwischen x-
Achse, Hyperbel und dem Geradensegment von (0, 0) nach (cosh t, sinh t)
eingeschlossen ist. Es ist eine ausgezeichnete Übung, diese Behauptung nachzurechnen.
Man sieht so die Verwandschaft zu den üblichen trigonometrischen
Funktionen, bei denen man nur die Hyperbel x 2 − y 2 = 1 zu ersetzen
hat durch den Einheitskreis x 2 + y 2 = 1, wie wir später zeigen werden. Die
Herkunft der Bezeichnung “Sinus” wird auch dort, genauer in 7.4.4 erklärt.
Die Bezeichnung Trigonometrie bedeutet übrigends “Dreiecksmessung”, die
Wurzel “gon” taucht auch im deutschen Wort “Knie” auf und bedeutet im
Griechischen sowohl “Knie” als auch im übertragenen Sinne “Winkel”.
4.7.5. Die Lösungsmengen in der Ebene R 2 von Gleichungen der Gestalt
ax 2 + bxy + cy 2 = d mit (a, b, c) = (0, 0, 0) heißen ebene Quadriken oder
auch Kegelschnitte, da man sie erhalten kann als Schnitte räumlicher Ebenen
mit dem Kegel {(x, y, z) ∈ R 3 | x 2 +y 2 = z 2 } bei geeigneter orthonormaler
Identifikation unserer räumlichen Ebenen mit dem R 2 . Jeder Kegelschnitt
ist bis auf Drehung und Verschiebung eine Ellipse αx 2 +βy 2 = 1 mit α, β > 0,
eine Hyperbel xy = γ mit γ > 0, eine Parabel x 2 = δy mit δ > 0, ein Geradenkreuz,
eine Gerade, ein Punkt oder die leere Menge. Die Bezeichnung
“Parabel” kommt hier vom griechischen Wort für “Werfen”. In der Tat beschreibt
ein Wurfgeschoss unter Vernachlässigung des Luftwiderstands stets
eine “parabolische” Bahn, vergleiche VII.3.1.9.
Ergänzende Übung 4.7.6. Sei H = {(x, y) ∈ R2 | x2 − y2 = 1} die Hyperbel.
Wir konstruieren eine Bijektion ϕ : R\{±1} ∼ → H\(1, 0), indem wir jedem
Punkt t ∈ R\{±1} den Schnittpunkt der Geraden durch (0, t) und (1, 0) mit
H\(1, 0) zuordnen. Man prüfe, daß diese Abbildung gegeben wird durch
2 t + 1
ϕ(t) =
t2 − 1 ,
2t
t2
− 1
Eine eng verwandte Parametrisierung des Einheitskreises werden wir in 7.6.17
besprechen.