Analysis

2. ENDLICHDIMENSIONALE DARSTELLUNGEN 797
Zwei Darstellungen heißen isomorph genau dann, wenn es zwischen ihnen
einen Homomorphismus gibt, der ein Isomorphismus von Vektorräumen ist.
Die Umkehrabbildung dieses Isomorphismus ist dann notwendig auch ein
Homomorphismus von Darstellungen.
Satz 2.1.16 (Morphismen unter Liegruppen und Liealgebren). Gegeben
endlichdimensionale stetige reelle Darstellungen V, W einer Liegruppe
G sind alle Homomorphismen unserer Darstellungen von G auch Homomorphismen
zwischen den abgeleiteten Darstellungen der Liealgebra g, in Formeln
Mod G
R(V, W ) ⊂ Mod g
R (V, W )
Ist G zusammenhängend, so gilt hier sogar Gleichheit, jeder mit den Operationen
der Lie-Algebra verträgliche Vektorraumhomomorphismus ist also
notwendig bereits mit den Operationen der Gruppe verträglich, in Formeln
Mod G
R(V, W ) = Mod g
R (V, W )
Ergänzung 2.1.17. In der Sprache der Kategorientheorie ?? bilden sowohl die
Darstellungen einer Gruppe als auch die Darstellungen einer Liealgebra mit
den Verflechtungsoperatoren als Morphismen jeweils eine Kategorie. Der vorstehende
Satz 2.1.16 sagt in dieser Sprache, daß das Differenzieren im Sinne
von ?? einen Funktor von der Kategorie der endlichdimensionalen stetigen
Darstellungen einer Liegruppe in die Kategorie der Darstellungen ihrer Liealgebra
liefert, und daß dieser Funktor im Fall einer zusammenhängenden
Liegruppe sogar volltreu ist im Sinne von ??.
Beweis. Ist f : V → W ein Verflechtungsoperator, so gilt sicher f(gv) =
g(f(v)) für alle g ∈ G und v ∈ V . Werten wir die Differentiale beider Abbildungen
G → W beim neutralen Element auf x aus, so folgt f(xv) =
x(f(v)) wie behauptet. Umgekehrt folgt aber aus f(xv) = x(f(v)) auch
f(exp(tx)v) = exp(tx)(f(v)) für alle t. Ist unsere Gruppe zusammenhängend,
so wird sie aber vom Bild der Exponentialabbildung erzeugt, und das
zeigt dann f(gv) = g(f(v)) für alle g ∈ G.
Übung 2.1.18 (Invarianten von Liegruppen und Liealgebren). Für eine
Darstellung V einer Gruppe G verwenden wir wie in ?? die Notation
V G := {v ∈ V | gv = v ∀g ∈ G}
für die G-invarianten Vektoren von V . Für eine Darstellung V einer Liealgebra
g setzen wir
V g := {v ∈ V | xv = 0 ∀x ∈ g}