Analysis

598 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
und die Matrix der Skalarprodukte der Spaltenvektoren ergibt sich zu
(dφ) ⊤ dφ =
1
0
0
sin2
ϕ
und die Wurzel aus deren Determinante zu sin ϑ, so daß wir bei demselben
Doppelintegral über cos 2 ϑ sin 2 ϑ sin ϕ landen wie in 7.5.5.
Übung 7.5.17. Berechnen Sie den Fluß des Vektorfelds F : (x, y, z) ↦→ (x, 0, 0)
durch die Einheitssphäre, die Sie dazu mit einer Orientierung ihrer Wahl
versehen mögen.
7.6 Äußere Ableitung von Differentialformen
7.6.1. Ist V ein endlichdimensionaler Vektorraum, so definieren wir für alle
k ≥ 0 eine lineare Abbildung
alt : Hom(V, Alt k V ) → Alt k+1 V
Leser mit den entsprechenden Kenntnissen in multilinearer Algebra können
sie unter den in ?? gegebenen Identifikationen k (V ∗ ) ∼ → Alt k V verstehen
als die Komposition Hom(V, Alt k V ) ∼ → V ∗ ⊗ k (V ∗ ) ∧ → k+1(V ∗ ) des Inversen
zum Standardisomorphismus V ∗ ⊗ W ∼ → Hom(V, W ) aus ?? mit dem
Dachprodukt. Weniger Gebildete definieren diese Abbildung explizit, indem
sie ähnlich wie bei der Konstruktion des Dach-Produkts setzen
k
(alt f)(v0, v1, . . . , vk) := (−1) i (f(vi))(v0, . . . , vi, . . . , vk)
i=0
Hier soll die “Tarnkappe” über vi wie üblich bedeuten, daß dieser Eintrag
beim entsprechenden Summanden auszulassen ist.
Definition 7.6.2. Sei X ein endlichdimensionaler reeller Raum und A ⊂
X halboffen. Eine Differentialform ω ∈ Ω k (A) heißt differenzierbar bzw.
stetig differenzierbar genau dann, wenn sie als Abbildung ω : A → Alt k X
von der halboffenen Teilmenge A des endlichdimensionalen reellen Raums
X in den endlichdimensionalen reellen Vektorraum Alt k X differenzierbar ist
im Sinne von 1.2.2 bzw. stetig differenzierbar im Sinne von 1.5.2, wenn also
ihr Differential auch stetig ist als Abbildung A → Hom( X, Alt k X) gegeben
durch x ↦→ dxω.
Definition 7.6.3. Sei X ein endlichdimensionaler reeller Raum und A ⊂ X
halboffen. Gegeben ω ∈ Ω k (A) eine differenzierbare k-Form erklären wir eine
(k + 1)-Form dω ∈ Ω k+1 (A) durch die Vorschrift
(dω)x := alt(dxω)