Analysis

4. UMKEHRSATZ UND ANWENDUNGEN 467
SkriptenBilder/BildTraF.png
Illustration zur Transformationsformel, insbesondere zu Beispiel 4.4.8. Das
Integral einer Funktion f über das linke Kuchenstück kann angenähert
werden, indem wir die angedeutete Unterteilung des Integrationsbereichs
betrachten, in jedem der unterteilenden Stücke den Funktionswert an einer
Stelle mit der Fläche des entsprechenden Stücks multiplizieren, und diese
Produkte aufsummieren. Unter der Polarkoordinatenabbildung P entspricht
nun die Unterteilung unseres Kuchenstücks einer Unterteilung unseres
Quadrats, und die Fläche des Bildes eines Unterquadrats ist in etwa der
Betrag der Funktionaldeterminante |detP | an einer Stelle unseres
Unterquadrats multipliziert mit der Fläche besagten Unterquadrats. So
wäre etwa die Fläche des schraffierten Teils im Kuchenstück rechts etwas
weniger als halb so groß wie die Fläche des schraffierten Unterquadrats
links, und |detP | = r nimmt auf unserem Unterquadrat Werte zwischen 1/4
und 1/2 an. Es wir also in etwa dasselbe herauskommen, wenn wir von der
Funktion (f ◦ P )|detP | auf unserem Quadrat in jedem der Unterquadrate
den Funktionswert an einer Stelle mit der Fläche des entsprechenden
Unterquadrats multiplizieren, und diese Produkte aufsummieren. Im
Grenzübergang für immer feinere Unterteilungen kommt dann sogar nicht
nur in etwa, sondern ganz genau dasselbe heraus, und das ist die
anschauliche Bedeutung der Transformationsformel.