Analysis

3. WEGINTEGRALE 409
Gegeben ε > 0 finden wir wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von γ ′ ein δ > 0
derart, daß gilt |s − t| < δ ⇒ γ ′ (s) − γ ′ (t) < ε. Ist r so groß, daß die Länge
der Intervalle ti − ti−1 unter δ sinkt, so folgt mit dem Mittelwertsatz II.7.2.11
in mehreren Veränderlichen γ(ti) − γ(ti−1) ∈ (ti − ti−1) B(γ ′ (ti); ε), was wir
umschreiben können zu
γ(ti) − γ(ti−1) − (ti − ti−1)γ ′ (ti) < (ti − ti−1)ε
Das hinwiederum liefert für r oberhalb einer geeigneten Schranke die Abschätzung
|S r γ(ω) − S r | ≤
r
ωγ(ti) (ti − ti−1)ε ≤ supt∈[a,b] ωγ(t) (b − a)ε
i=1
Diese Differenz strebt also gegen Null für r → ∞, folglich strebt die Folge
S r γ(ω) gegen denselben Grenzwert wie die Folge S r .
Beispiel 3.3.5. Ein Kovektorfeld auf der Zeitachse kann, wie in 3.1.5 erklärt,
nach der Wahl eines ausgezeichneten Drehsinns als eine Vorschrift aufgefaßt
werden, die jedem Zeitpunkt eine Drehgeschwindigkeit zuordnet. Das Integral
eines derartigen Kovektorfelds über einen Weg in der Zeitachse liefert
dann anschaulich gesprochen die Zahl der Umdrehungen in Richtung des ausgezeichneten
Drehsinns zwischen Anfangszeitpunkt und Endzeitpunkt. Liegt
der Endzeitpunkt hier vor dem Anfangszeitpunkt, so ist entsprechend das
Negative zu nehmen.
Ergänzung 3.3.6 (Wegintegrale von Vektorfeldern). Redet man für X =
R n vom Integral eines Vektorfelds v : A → R n längs eines Weges oder von
der Zirkulation eines Vektorfelds in einem Weg, so ist das Integral des
Kovektorfelds ω = 〈v, 〉 gemeint, das in Formeln gegeben wird durch ω =
v1 dx1 + . . . + vn dxn. In der Physik wird das Standardskalarprodukt auf dem
R n meist v · w notiert und unser Wegintegral über einen Weg γ : [a, b] → A
würde geschrieben als
γ
v · dx =
b
a
v · dγ =
b
a
v(γ(t)) · ˙γ(t) dt
Die Bedeutung der Terme des rechtesten Integrals sollte hier klar sein. In
der Mitte ist zu verstehen dγ = dtγ = ˙γ(t) dt. Ganz links meint dx ein
“kleines vektorielles Kurvenelement” und das x ist fett gedruckt um anzudeuten,
daß ein Vektor gemeint ist. Ich mag diese Notation nicht besonders,
die fette Schreibweise ist auch an der Tafel schlecht umzusetzen. Allgemeiner