Analysis

6. STETIGKEIT IN MEHREREN VERÄNDERLICHEN 245
schlicht alle Teilmengen als offen ansehen. Einen topologischen Raum mit
der diskreten Topologie nennen wir auch kurz einen diskreten Raum.
Beispiele 6.5.23. Jede konstante Abbildung ist stetig. Die Identität auf einem
topologischen Raum ist immer stetig. Jede Abbildung in einen Raum mit
der Klumpentopologie ist stetig. Jede Abbildung aus einem Raum mit der
diskreten Topologie ist stetig.
Ergänzende Übung 6.5.24. Auf jeder Menge kann man die koendliche Topologie
erklären durch die Vorschrift, daß außer der leeren Menge nur die
Komplemente endlicher Mengen offen sein sollen.
Ergänzende Übung 6.5.25. Auf jeder partiell geordneten Menge kann man
die Ordnungstopologie, auch genannt Alexandroff-Topologie, erklären
durch die Vorschrift, daß genau die Teilmengen offen sein sollen, die mit
einem Element auch jedes kleinere Element enthalten. Genau dann entsteht
eine Topologie in dieser Weise aus einer partiellen Ordnung, wenn es für jedes
Element eine kleinste offene Menge gibt, die es umfaßt.
Definition 6.5.26. Eine Teilmenge M eines topologischen Raums X heißt
abgeschlossen oder präziser abgeschlossen in X und wir schreiben in
Formeln M ⊂ V X genau dann, wenn ihr Komplement X\M offen ist.
6.5.27. Wenn wir eine Menge einfach nur “abgeschlossen” nennen, so in der
Hoffnung, dem Leser sei klar, in Bezug auf welchen größeren Raum X dies
“abgeschlossen” gemeint ist. Ist X ein topologischer Raum und sind M ⊂
Y ⊂ X Teilmengen, so meint M ⊂ V Y , daß M abgeschlossen ist als Teilmenge
des Raums Y mit seiner induzierten Topologie 6.5.10. Die Terminologie
kommt vom Fall metrischer Räume her, in dem die Komplemente offener
Mengen gerade diejenigen Teilmengen waren, die “abgeschlossen sind unter
dem Bilden von Grenzwerten”.
Übung 6.5.28. Gegeben ein topologischer Raum X mit einer Teilmenge Y
zeige man: A ⊂ V Y ⇔ ∃B ⊂ V X mit A = B ∩ Y .
Übung 6.5.29. Sei X ein topologischer Raum und A⊂ V X eine abgeschlossene
Teilmenge. So ist eine Teilmenge B ⊂ A abgeschlossen in A unter der Spurtopologie
genau dann, wenn B abgeschlossen ist in X. In Formeln gilt unter
der Voraussetzung A ⊂ V X für Teilmengen B ⊂ A also (B ⊂ V A ⇔ B ⊂ V X).
Lemma 6.5.30. Jede endliche Vereinigung und beliebige Schnitte abgeschlossener
Mengen sind abgeschlossen.
Beweis. Das folgt mit der Definition einer Topologie sofort aus der Formel
X\
M =
(X\M)
M∈M
M∈M