Analysis

1. DIE REELLEN ZAHLEN 97
4. Das folgt durch Addition von (−y − x) auf beiden Seiten.
5. In der Tat folgern wir x ≥ y ⇒ (−a)x ≥ (−a)y ⇒ ax ≤ ay.
6. In der Tat ist x 2 = (−x) 2 und x > 0 ⇔ (−x) < 0.
7. Das folgt aus 1 = 1 2 = 0.
8. Das folgt durch Multiplikation mit (x −1 ) 2 .
9. Das folgt durch Multiplikation mit y −1 x −1 .
1.3.5. Schreiben wir zur besonderen Betonung wieder 0K und 1K, so gelten
demnach in jedem angeordneten Körper K die Ungleichungen
. . . < (−1K) + (−1K) < (−1K) < 0K < 1K < 1K + 1K < . . .
Insbesondere folgt aus m1K = n1K für m, n ∈ Z schon m = n. Die Abbildung
Z → K, m ↦→ m1K ist also eine Injektion. Das Bild dieser Injektion müßte
wohl eigentlich einen eigenen Namen kriegen, zum Beispiel ZK, aber wir
kürzen unsere Notation ab, bezeichnen dieses Bild auch mit Z und schreiben
kürzer m statt m1K. Weiter erhalten wir auch eine Injektion Q → K, m/n ↦→
m1K/n1K, die wir zum Beispiel q ↦→ qK notieren könnten. Wir sind auch
hier etwas nachlässig, bezeichnen das Bild unserer Injektion Q → K meist
kurzerhand mit demselben Buchstaben Q statt genauer QK zu schreiben,
und hängen auch den Elementen von Q meist keinen Index an, wenn wir
eigentlich ihr Bild in K meinen.
Übung 1.3.6. Man zeige, daß für jeden angeordneten Körper K die in 1.3.5
definierte Abbildung Q → K ein Körperhomomorphismus ist.
Definition 1.3.7. Für jeden angeordneten Körper K definieren wir eine
Abbildung K → K, x ↦→ |x|, den Absolutbetrag, durch die Vorschrift
x falls x ≥ 0;
|x| =
−x falls x < 0.
1.3.8. Wir listen einige Eigenschaften des Absolutbetrags auf. Der Beweis der
ersten vier sei dem Leser überlassen.
1. |x| = 0 ⇔ x = 0
2. | − x| = |x|
3. |xy| = |x||y|