Analysis

3. SPEKTRALTHEORIE IN HILBERTRÄUMEN 723
Lemma 3.4.6. Eine stetige lineare Abbildung von einem Banachraum in
einen normierten Vektorraum, die keinen Vektor verkürzt, hat abgeschlossenes
Bild und ihre auf diesem Bild definierte Umkehrabbildung ist stetig.
3.4.7. Dieselbe Aussage folgt offensichtlich auch, wenn es eine positive reelle
Zahl gibt derart, daß unsere Abbildung jeden Vektor höchstens um diesen
Faktor verkürzt.
Beweis. Ist allgemeiner f : V → W eine stetige lineare Abbildung von einem
Banachraum in einen normierten Vektorraum und existiert eine Konstante
c > 0 mit f(v) ≥ cv ∀v ∈ V , so ist das Bild von f abgeschlossen, denn
jede konvergente Folge f(v0), f(v1), . . . im Bild f(V ) ist Cauchy, also ist auch
v0, v1, . . . Cauchy in V und konvergiert gegen ein v ∈ V , und dann muß f(v)
der Grenzwert der f(vi) sein, der damit auch in f(V ) liegt.
Übung 3.4.8. Genau dann besteht das Spektrum eines selbstadjungierten
Operators aus einem einzigen Punkt λ, wenn unser Operator die Multiplikation
mit dem Skalar λ auf einem von Null verschiedenen Hilbertraum ist.
Hinweis: 3.4.1.
Lemma 3.4.9 (Anwenden stetiger Funktionen auf Operatoren). Gegeben
ein selbstadjungierter Operator T auf einem Hilbertraum H gibt es
genau einen stetigen C-linearen Ringhomomorphismus
C(σ(T )) → B(H)
f ↦→ f(T )
vom Ring aller stetigen komplexwertigen Funktionen auf dem Spektrum von
T in den Ring aller beschränkten Operatoren unseres Hilbertraums, der die
Einbettung σ(T ) ↩→ R auf den Operator T wirft, und dieser Ringhomomorphismus
wirft konjugierte Funktionen auf adjungierte Operatoren, in Formeln
¯f(T ) = f(T ) ∗ .
3.4.10. Die Stetigkeit ist hier gemeint in Bezug auf die Norm der gleichmäßigen
Konvergenz auf C(σ(T )) und die Operatornorm auf B(H). Schreiben wir
im folgenden f(T ) für eine stetige auf ganz R definierte Funktion, so meinen
wir, daß der Operator T im Sinne des vorhergehenden Lemmas in ihre Einschränkung
f|σ(T ) eingesetzt werden soll. Ich habe dieser Aussage nur den
Status eines Lemmas gegeben, da sie sich als eine direkte Konsequenz aus
dem Spektralsatz 3.6.11 ergeben wird und unter diesem Blickwinkel nur ein
Schritt zum Beweis dieses zentralen Resultats ist.