Analysis

930 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
eine Bündelkarte von E∗ ist.
Hierbei soll die erste Abbildung von der kanonischen Identifikation R
−→
n ∼
(Rn ) ∗ herkommen und die zweite Abbildung von den Inversen der Transponierten
E∗ ∼
x −→ (Rn ) ∗ der durch die ursprüngliche Bündelkarte von E gege-
n ∼
benen Identifikationen R
−→ Ex für x ∈ U.
Definition 5.8.12. Das zum Tangentialbündel T X an eine Mannigfaltigkeit
X duale Bündel heißt das Kotangentialbündel und wird notiert als
Seine Fasern
(T X) ∗ = T ∗ X
(T ∗ X)x = (TxX) ∗
notiert man auch T ∗ x X und nennt die Faser bei x den Kotangentialraum an
X bei x.
Ein Kovektorfeld ist ein Schnitt des Kotangentialbündels.
Beispiel 5.8.13. Gegeben eine glatte Funktion f : X → R auf einer Mannigfaltigkeit
X können wir ein glattes Kovektorfeld
erklären durch die Vorschrift
df : X −→ T ∗ X
(df)x = dxf : TxX → Tf(x)R ∼
−→ R
mit der kanonischen Identifikation TpR ∼
−→ R für alle p ∈ R.
Definition 5.8.14. Gegeben ein R-Vektorbündel p : E → X auf einer Mannigfaltigkeit
X und k ∈ N definieren wir ein weiteres R-Vektorbündel Alt k E
auf X, indem wir auf der disjunkten Vereinigung
Alt k E = ⊔x∈X Alt k Ex
mit der hoffentlich offensichtlichen Projektion q : Alt k E → X die einzige
Struktur eines R-Bündels betrachten derart, dass für jede Bündelkarte U ×
n ∼
R −→ p−1 (U) von E die offensichtliche Abbildung
eine Bündelkarte von Alt k E ist.
U × Alt k (R n ) −→ q −1 (U)
Ouuuups, ab hier isses plötzlich topologisch!