Analysis

6. STETIGKEIT IN MEHREREN VERÄNDERLICHEN 265
Alternativer Beweis. Ist X offen oder abgeschlossen in einem R n , so kann
man auch elementarer argumentieren. Zunächst reicht es ja, die Stetigkeit
an jeder Stelle x ∈ X nachzuweisen. Mit dieser Überlegung können wir uns
leicht auf den Fall zurückziehen, daß X kompakt ist. Dann ist aber auch
X × [a, b] kompakt und nach 6.7.14 ist f dort gleichmäßig stetig. Für alle
ε > 0 gibt es insbesondere δ > 0 mit
|x − y| < δ ⇒ |f(x, t) − f(y, t)| < ε für alle t ∈ [a, b].
Aus |x − y| < δ folgt mithin
b
b
f(x, t) dt − f(y, t) dt
≤
a
und das zeigt die Behauptung.
a
b
a
|f(x, t) − f(y, t)| dt ≤ (b − a)ε
6.11.3. Den Raum aller stetigen Abbildungen von einem kompakten Raum
X in einen metrischen Raum Y , versehen mit der Metrik der gleichmäßigen
Konvergenz, wird C(X, Y ) notiert. Das C steht hier für englisch “continous”
und französisch “continu”.
Satz 6.11.4 (Stetige Abbildungen in Abbildungsräume). Seien X, Y
und K metrische Räume. Ist K kompakt, so ist eine Abbildung f : X × K →
Y stetig genau dann, wenn die induzierte Abbildung ˜ f : X → C(K, Y ) stetig
ist für die Metrik der gleichmäßigen Konvergenz auf C(K, Y ).
Beweis. Daß aus der Stetigkeit von ˜ f die Stetigkeit von f folgt, sieht man
ohne weitere Schwierigkeiten. Wir zeigen nun die andere Richtung und müssen
die Stetigkeit von ˜ f an jeder Stelle p ∈ X nachweisen. Sei diese Stelle p
ab jetzt fest gewählt und sei ε > 0 gegeben. Aufgrund der Stetigkeit von f
gibt es für jedes s ∈ K ein δs > 0 mit
f B((p, s); δs) ⊂ B(f(p, s); ε)
Nun gilt für unsere Metrik auf X × K ja B((p, s); δ) = B(p; δ) × B(s; δ) und
nach 6.10.3 gibt es eine endliche Teilmenge E ⊂ K mit K ⊂
s∈E B(s; δs).
Für η = mins∈E δs behaupten wir dann
x ∈ B(p; η) ⇒ d(f(x, t), f(p, t)) < 2ε ∀t ∈ K
In der Tat finden wir für jedes t ∈ K ein s ∈ E mit t ∈ B(s; δs) und für dies
s liegen (p, t) und (x, t) beide in B((p, s); δs). Damit ist die Stetigkeit von ˜ f
bei p gezeigt.