Analysis

3. SPEKTRALTHEORIE IN HILBERTRÄUMEN 711
Übung 3.1.22. Gegeben ein Hilbertraum H, eine stetige lineare Abbildung
S : H → H und eine differenzierbare Abbildung f : R → H zeige man, daß
auch die Abbildung t ↦→ exp(tS)f(t) differenzierbar ist mit der Ableitung
S exp(tS)f(t) + exp(tS)f ′ (t). Hinweis: Man beachte dazu die Differenzierbarkeit
von R → B(H), t ↦→ tS, von exp : B(H) → B(H) bei Null nach
IV.1.2.17 und von der Operation B(H) × H → H nach IV.1.4.5.
Übung 3.1.23. Man zeige, daß für jedes Kompaktum K ⊂ R der translationsinvariante
Teilraum H = L 2 (K; dx) ∧ ⊂ L 2 (R; dt) aller Fouriertransformierten
quadratintegrierbarer Funktionen mit Träger in K in Bezug auf die
Darstellung von R durch Translationen vollständig aus differenzierbaren Vektoren
besteht und daß der infinitesimale Erzeuger S in diesem Fall schlicht
das negative Ableiten −∂ ist. Welcher Zusammenhang besteht zwischen der
Gleichung exp(−t∂)f = τtf und der Taylorentwicklung?
Übung 3.1.24. Man zeige: Ein Vektor aus einer unitären Darstellung von R ist
differenzierbar im Sinne von 3.1.17 genau dann, wenn die Funktion x in Bezug
auf sein Frequenzmaß quadratintegrierbar ist. Ist weiter ϕ : L 2 (R; µ) ↩→ H
die kanonische Einbettung im Sinne von 3.1.10 zu solch einem Vektor v, so
gilt
Sv = ϕ(i x)
3.2 Selbstadjungierte Operatoren
Proposition 3.2.1 (Hellinger-Toeplitz). Jede lineare Abbildung von einem
Hilbertraum in einen weiteren Hilbertraum, die eine Adjungierte besitzt,
ist stetig.
Beweis. Sei A : H → H ′ unsere lineare Abbildung und B : H ′ → H ihre
Adjungierte, es gelte also 〈Av, w〉 = 〈v, Bw〉 für alle v ∈ H und w ∈ H ′ . Die
schieflinearen Abbildungen
Tw : v ↦→ 〈Av, w〉
sind stetig, da sie auch als v ↦→ 〈v, Bw〉 geschrieben werden können. Die Werte
der stetigen linearen Abbildungen Tw mit w = 1 sind auf jedem Vektor
v ∈ H beschränkt durch c(v) = A(v). Nach dem Prinzip der gleichmäßigen
Beschränktheit 3.2.4, das wir gleich im Anschluß diskutieren, gibt es also C
mit Tw ≤ C für alle w der Länge Eins alias mit
〈Av, w〉 ≤ Cvw
für alle v ∈ H und w ∈ H ′ . Das hinwiederum zeigt Av 2 ≤ CvAv und
damit Av ≤ Cv für alle v ∈ H. Als auf dem Einheitsball beschränkte
lineare Abbildung ist damit A stetig nach II.6.9.13.