Analysis

3. ALGEBRAISCHE GRUNDBEGRIFFE 71
3.3.4. Gegeben Monoide H, G kann Mon(H, G) ⊂ Mag(H, G) durchaus eine
echte Teilmenge sein. Zum Beispiel ist die Nullabbildung (Z, +) → (Z, ·)
ein Homomorphismus von Mengen mit Verknüpfung, aber kein Monoidhomomorphismus.
Übung 3.3.5. Gegeben eine Menge X ist das Bilden des Komplements ein
Monoidhomomorphismus (P(X), ∩) → (P(X), ∪).
3.3.6. Gegeben ein Monoid H und eine Gruppe G haben wir stets Mag(H, G) =
Mon(H, G), jeder Homomorphismus ϕ von Mengen mit Verknüpfung von einem
Monoid in eine Gruppe bildet also das neutrale Element auf das neutrale
Element ab: In der Tat folgt das aus ϕ(e) = ϕ(e·e) = ϕ(e)·ϕ(e) durch Kürzen
unmittelbar. Einen Homomorphismus zwischen zwei Gruppen, in Formeln eine
Abbildung ϕ : G → H mit ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) für alle a, b ∈ G, nennen
wir auch einen Gruppenhomomorphismus. Gegeben Gruppen H und G
bezeichnen wir die Menge aller Gruppenhomomorphismen von H nach G mit
Grp(H, G)
Die neue Notation hat den Vorteil, uns daran zu erinnern, daß wir es mit
Gruppen zu tun haben.
Übung 3.3.7. Die Multiplikation mit 5 ist ein Gruppenhomomorphismus von
additiven Gruppen Z → Z.
3.3.8. Einen bijektiven Homomorphismus nennen wir in allen Situationen von
Mengen mit Verknüpfung auch einen Isomorphismus.
Vorschau 3.3.9. Den Begriff eines Isomorphismus haben wir eben etwas schlampig
eingeführt: Im allgemeinen nennt man einen Homomorphismus φ nach ??
einen Isomorphismus genau dann, wenn es einen Homomorphismus ψ in die
Gegenrichtung gibt derart, daß beide Kompositionen ψ ◦ φ und φ ◦ ψ die
Identität sind. Im obigen Fall und in den Fällen, die uns bis auf weiteres
begegnen werden, ist jedoch diese “richtige” Definition zu der oben gegebenen
schlampigen Definition äquivalent. Der erste Fall, in dem das nicht mehr
richtig ist, wird Ihnen in diesen Vorlesungen in II.6.5.23 begegnen: Eine bijektive
“stetige Abbildung von topologischen Räumen” muß keineswegs ein
“Isomorphismus von topologischen Räumen” sein alias eine “stetige” Umkehrabbildung
besitzen.
3.3.10. Die Terminologie kommt von griechisch “µoρϕη” für “Gestalt, Struktur”und
griechisch“oµoις”für“gleich, ähnlich”. Auf deutsch könnte man statt
Homomorphismus auch“strukturerhaltende Abbildung”sagen. Das Wort“Isomorphismus”
wird analog gebildet mit griechisch “ισoς” für “gleich”.