Analysis

8. WURZELSYSTEME 1017
Beispiel 8.1.9. Die Menge R = {ei − ej | i = j} aller Differenzen zwischen
zwei verschiedenen Vektoren der Standardbasis des R n ist ein Wurzelsystem
in V = {(a1, . . . an) ∈ R n | a1 + . . . + an = 0}. Wir betrachten εi ∈ V ∗ mit
εi(a1, . . . , an) = ai. Für α = ei − ej ist dann die Kowurzel α ∨ = εi − εj, und
die Spiegelung sα vertauscht die i-te mit der j-ten Koordinate. Insbesondere
besteht W (R) ∼ = Sn aus den Permutationen der Koordinaten.
8.1.10. Die Einschränkung auf den Q-Spann der Wurzeln 〈R〉Q definiert eine
natürliche Einbettung W ⊂ Aut〈R〉Q. Diese Einbettung identifiziert die
Weylgruppe mit einer endlichen Spiegelungsgruppe im Sinne von 7.1.4. Die
Alkoven in 〈R〉Q heißen in diesem Zusammenhang meist Weylkammern.
Lemma 8.1.11. Jede Spiegelung in der Weylgruppe eines Wurzelsystems ist
eine Spiegelung zu einer Wurzel.
Beweis. Sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit R ein Wurzelsystem in
einem Vektorraum über Q. Nach 7.3.13 ist jede Spiegelung s aus der Weylgruppe
schon mal konjugiert zu einer Spiegelung zu einer Wurzel β ∈ R. Wir
folgern s = wsβw −1 = swβ = sα mit α = wβ ∈ R.
Lemma 8.1.12 (Paare von Wurzeln). Für je zwei nichtproportionale
Wurzeln α, β eines Wurzelsystems gilt 0 ≤ 〈α, β ∨ 〉〈β, α ∨ 〉 < 4. Genauer
wird der Winkel zwischen je zwei Wurzeln α und β bezüglich jedes weylgruppeninvarianten
Skalarprodukts ( , ) auf 〈R〉Q gegeben durch
4 cos 2 (Winkel zwischen α und β) = 〈α, β ∨ 〉〈β, α ∨ 〉 ∈ {0, 1, 2, 3}
und je zwei nichtorthogonale Wurzeln haben das Längenverhältnis
α2 β2 = 〈α, β∨ 〉
〈β, α∨ 〉
Beweis. Beides folgt sofort aus unserer Formel 〈α, β ∨ 〉 = 2(α, β)/(β, β).
8.2 Affine Spiegelungsgruppen und Wurzelsysteme
8.2.1. Gegeben ein Wurzelsystem in einem Vektorraum über einem Körper
der Charakteristik Null nennen wir die von seiner Weylgruppe und den Verschiebungen
um Wurzeln erzeugte Gruppe von affinen Bewegungen unseres
Vektorraums die affine Weylgruppe unseres Wurzelsystems und sprechen
von der endlichen Weylgruppe, wenn wir besonders betonen wollen, daß
nicht diese affine Weylgruppe gemeint ist. Ist R ⊂ V unser Wurzelsystem,
so bezeichnen wir seine affine Weylgruppe mit W = W(R). Bezeichnet W