Analysis

13. STETIGE DARSTELLUNGEN VON LIE-GRUPPEN 1127
liegen in eλ ∗ V = V (λ). Ist V (λ) endlichdimensional, so folgt Gleichheit
und V (λ) besteht in der Tat aus glatten Vektoren. Daß VK ∩ V∞ stabil ist
unter g, folgt sogar für eine beliebige Untergruppe K ⊂ G sofort daraus,
daß die Operation g × V∞ → V∞ nach 13.2.4 eine G-äquivariante und damit
insbesondere auch eine K-äquivariante Abbildung ist.
13.3 Algebraisierung
Proposition 13.3.1. Seien G ⊃ K eine separable Liegruppe und eine kompakte
Untergruppe und sei E eine K-zulässige von-Neumann-Darstellung von
G. Gegeben e ∈ EK ein K-endlicher Vektor und f : E → C stetige Linearform
ist der Matrixkoeffizient G → C, g ↦→ 〈f, ge〉 eine analytische Funktion.
Korollar 13.3.2. Seien G ⊃ K eine separable Liegruppe und eine kompakte
Untergruppe, die jede Zusammenhangskomponente von G trifft. Sei E
eine K-zulässige von-Neumann-Darstellung von G. So liefern das Bilden der
K-endlichen Vektoren und das Bilden des Abschlusses zueinander inverse
Bijektionen
abgeschlossene G-stabile ∼↔ unter K und g stabile
Teilräume von E
Teilräume von EK
Beweis. Gegeben E ′ ⊂ E ein abgeschlossener G-stabiler Teilraum it offensichtlich
E ′ K ⊂ EK eine g-Unterdarstellung. Ist umgekehrt V ⊂ EK eine
g-Unterdarstellung und f : E → C eine stetige Linarform, die auf V verschwindet,
und v ∈ V ein Vektor, so verschwindet für den Matrixkoeffizienten
g ↦→ 〈f, gv〉 alle partiellen Ableitungen bei g = 1, als da heißt diese analytische
Funktion ist identisch Null. Da jedoch im lokal konvexen Raum E gilt
V = ∩ ker f mit Schnitt über alle f : E → C stetig linear mit f(V ) = 0 folgt
GV ⊂ V und dann mit Stetigkeit auch GV ⊂ V .
Unsere beiden Abbildungsvorschriften liefern also in der Tat Abbildungen
zwischen den fraglichen Mengen. Die Formel E ′ = E ′ K ist eh klar, und wir
müssen nur noch (V )K = V zeigen. Da aber eλV ⊂ eλV = eλV gilt folgt
V (λ) = V (λ).
Bemerkung 13.3.3. Hier definiere vielleicht g-K-Moduln!
Korollar 13.3.4. Seien G ⊃ K eine Liegruppe und eine kompakte Untergruppe,
die sämtliche Komponenten von G trifft. So liefert das Bilden der
K-endlichen Vektoren eine Inklusion auf Isomorphieklassen
irreduzible unitäre K-zulässige
↩→
Darstellungen von G
irreduzible
g-K-Moduln