Analysis

2. FOURIERTRANSFORMATION 695
Sind also I ⊂ J ⊂ K ⊂ R beschränkte Intervalle, von denen jeweils der
Abschluß des einen im Inneren des nächsten liegt, so folgt
µ(I) − ε ≤ µn(J) ≤ µ(K) + ε
für hinreichend großes n. Da wir die Verteilungsfunktion von µ stetig angenommen
hatten, können wir für ein gegebenes beschränktes Intervall J ⊂ R
und beliebiges ε > 0 auch beschränkte Intervalle I, K wie oben finden mit
µ(K) − µ(I) ≤ ε. Zusammen folgt so für jedes beschränkte Intervall J ⊂ R
bereits
lim
n→∞ µn(J) = µ(J)
Schließlich finden wir für jedes ε > 0 ein Intervall [a, b) mit µ([a, b)) ≥ 1 − ε
und folglich µ((−∞, a)) ≤ ε. Für hinreichend großes n gilt dann µn([a, b)) ≤
1 − 2ε und damit µn((−∞, a)) ≤ 2ε. Für x ≤ a gilt bereits für diese n
die Abschätzung |µ((−∞, x)) − µn((−∞, x))| ≤ 3ε. Für x > a müssen wir
zusätzlich n noch so groß wählen, daß |µ([a, x)) − µn([a, x)) ≤ ε und dann
folgt für derart große n offensichtlich
|µ((−∞, x)) − µn((−∞, x))| ≤ 4ε
alias die punktweise Konvergenz der Verteilungsfunktionen.
2.6 Translationsinvariante Teilräume*
2.6.1. In diesem Abschnitt wird erklärt, wie man mithilfe der Fouriertheorie
die abgeschlossenen translationsinvarianten Teilräume des Raums der quadratintegrierbaren
Funktionen auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum
bestimmen kann. Wir werden das Resultat nicht benötigen, es wird
später eh durch die Theorie der unitären Darstellungen von Vektorräumen
überholt. Jedoch mag es für manche Vorlesung einen netten Abschluß liefern.
Definition 2.6.2. Sei V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Ein
Teilraum M ⊂ L 2 (V ) heißt translationsinvariant genau dann, wenn er für
alle a ∈ V invariant ist unter der Translation τa : L 2 (V ) → L 2 (V ) gegeben
durch (τaf)(x) = f(x − a), wenn also in Formeln gilt
f ∈ M ⇒ τaf ∈ M ∀ a ∈ V
Beispiel 2.6.3. Für E ⊂ ˆ V Borel-meßbar ist das Bild von χEL 2 ( ˆ V ) = L 2 (E)
unter der Fouriertransformation nach 2.5.8 ein translationsinvarianter Teilraum
von L 2 (V ), und nach II.7.5.3 ist dieser Teilraum auch abgeschlossen.
Wir zeigen nun, daß diese Konstruktion bereits alle Beispiele für abgeschlossene
translationsinvariante Teilräume liefert.