Analysis

922 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
5.5.2. Ist auf X eine fast-komplexe Struktur gegeben, als da heißt eine Struktur
als komplexes Vektorbündel alias einen Automorphismus J mit J 2 = − id
auf dem Tangentialbündel, so erhalten wir auch eine Struktur als komplexes
Vektorbündel auf dem Kotangentialbündel T ∗ X. Setzen wir C ⊗R T ∗ X =
: T ∗ CX, so erhalten wir mit ?? einen Isomorphismus T ∗ CX ∼ → T ∗ X ⊕T ∗ X von
komplexen Vektorbündeln. Mit ?? liefert er Isomorphismen von komplexen
Vektorbündeln
i j k
∗ ∗ ∼ ∗
T X ⊗ T X → TCX i+j=k
5.5.3. Auf einer komplexen Mannigfaltigkeit X der komplexen Dimension n
ist das Tangentialbündel TX der zugrundeliegenden reellen Mannigfaltigkeit
in natürlicher Weise ein komplexes Vektorraumbündel der komplexen Dimension
n. Gegeben ein glatter Schnitt ω von i T ∗ X ⊗ j T ∗ X prüft man in Koordinaten
leicht, daß dω bereits in i+1 T ∗ X ⊗ j T ∗ X ⊕ i T ∗ X ⊗ j+1 T ∗ X
landet. Die besagten Komponenten notieren wir ∂ω und ¯ ∂ω und erhalten so
eine kanonische Zerlegung dω = ∂ω + ¯ ∂ω.
5.6 Lie-Ableitung
Definition 5.6.1 (Lie-Ableitung). Gegeben ein glattes Vektorfeld ξ auf
einer glatten Mannigfaltigkeit X und ein glattes Feld T , genauer ein glattes
natürliches Feld im Sinne von 5.2.1, definiert man ein Feld derselben Art,
seine Lie-Ableitung
LξT
wie folgt: Man bezeichne für x ∈ X und kleine t ∈ R mit ξ t (x) ∈ X den
Punkt, bei dem der Punkt x landet, wenn er sich für die Zeit t mit dem Fluß
des Vektorfelds ξ treiben läßt. Dann sind die ξ t für kleine t Diffeomorphismen
einer festen offenen Umgebung U von p ∈ X mit offenen Teilmengen ξ t (U) ⊂◦
X. Bezeichne T [t;ξ] = T [t] das Feld auf U, das unter ξ t zum ursprünglichen
Feld T auf ξ t (U) verwandt ist, in Formeln
ξ t : T [t] ❀ T
Die T [t] bilden dann ein von t abhängiges Feld auf U und wir definieren
(T
(LξT )p = lim
t→0
[t] )p − Tp
t
Nun muß noch gezeigt werden, daß diese Grenzwerte existieren und daß LξT
wieder ein glattes Feld ist. Das überlassen wir dem Leser und leiten nur unter
der Annahme der Existenz explizite Formeln her. Mit etwas mehr Sorgfalt