Analysis

160 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
Übung 3.3.17. Man zeige limx→∞(xa /bx ) = 0 für alle a ∈ R und b > 1. Man
zeige limx→∞(log x/xc ) = 0 für alle c > 0. Man zeige limn→∞ n√ n = 1. Man
zeige
lim
n→∞
n
(5n)!
= 55
(n!) 5
3.3.18. Das Anwenden einer stetigen Funktion vertauscht mit der Grenzwertbildung.
Ist genauer E ⊂ R und ist q ∈ E ein Häufungspunkt von E und
g : E\q → R eine Funktion mit Bild in D ⊂ R und existiert limx→q g(x) = p
und liegt auch in D und ist f : D → R stetig bei p, so gilt
lim f(g(x)) = f lim
x→q x→q g(x)
Wir erhalten diese Aussage mithilfe von 3.3.11 als direkte Konsequenz aus
der Stetigkeit der Verknüpfung stetiger Funktionen 3.1.6. Speziell folgt für
jede Funktion f : D → R, die stetig ist bei einer Stelle p ∈ D, und jede Folge
an in D mit limn→∞ an = p bereits limn→∞ f(an) = f(p).
3.3.19. Man folgert so zum Beispiel die Vertauschbarkeit 2.1.44 von Grenzwertbildung
und Absolutbetrag aus der Stetigkeit des Absolutbetrags und
die Vertauschbarkeit 2.1.36.2 von Grenzwertbildung mit Kehrwerten aus der
Stetigkeit der Abbildung x ↦→ 1/x.
Beispiel 3.3.20. Für alle a > 0 folgt aus der Stetigkeit der Exponentialfunktion
und indem man für ein logisch vollständiges Argument die folgende
Gleichungskette von hinten nach vorne liest
limn→∞ n√ a = limn→∞ exp 1 log a n
= exp limn→∞ 1 log a n
= exp(0)
= 1
3.3.21. Es gibt noch weitere Möglichkeiten, aus dem Zusammenhang zwischen
Grenzwert und Stetigkeit 3.3.11 sowie der Stetigkeit der Verknüpfung stetiger
Funktionen 3.1.6 ähnliche Aussagen abzuleiten. Zusammen mit der bereits
als 3.3.18 ausführlicher besprochenen Aussage erhält man so insbesondere die
drei Implikationen
(limx→q g(x) = p und f stetig bei p) ⇒ limx→q f(g(x)) = f(p)
g stetig bei q und limy→g(q) f(y) = b ⇒ limx→q f(g(x)) = b
(limx→q g(x) = p und limy→p f(y) = b) ⇒ limx→q f(g(x)) = b