Analysis

13. STETIGE DARSTELLUNGEN VON LIE-GRUPPEN 1137
Bemerkung 13.6.3. Die zweite Aussage heißt die Iwasawa-Zerlegung und erscheint
meist in der Gestalt und Notation G = KAN.
Proposition 13.6.4. Sei G eine halbeinfache Lie-Gruppe mit endlichem
Zentrum und K ⊂ G eine maximal kompakte Untergruppe. Für jede irreduzible
stetige endlichdimensionale Darstellung E von G und alle λ ∈ ˆ K gilt
dimC eλE ≤ (dimC λ) 2 .
Beweis. Nach dem Satz von Lie ?? finden wir v ∈ E ungleich Null mit
Hv ⊂ Cv. Es folgt Span C Kv = E und damit liegt C(K) ∗ v dicht in E.
Daraus folgt hinwiederum C(K) ∗ v = E. Wir kennen aber bereits nach dem
Satz von Peter-Weyl die Formel dimC eλC(K) = (dimC λ) 2 .
Proposition 13.6.5. Sei G eine halbeinfache Lie-Gruppe mit einer treuen
endlichdimensionalen Darstellung (und folglich endlichem Zentrum). Sei
K ⊂ G eine maximal kompakte Untergruppe. So gilt für alle λ ∈ ˆ K im Ring
eλ Mc(G)eλ die Identität Pm aus ?? mit m = m((dim λ) 2 ) im Sinne von ??.
Beweis. Wir zeigen zunächst, daß es für µ ∈ Mc(G) mit µ = 0 auch eine
endlichdimensionale irreduzible Darstellung E von G gibt derart, daß µ nicht
durch Null auf E operiert. Da Lie G halbeinfach angenommen war, ist jede
endlichdimensionale Darstellung von G halbeinfach nach dem Satz von Weyl.
Wir müssen also nur eine endlichdimensionale Darstellung von G finden, auf
der µ nicht durch Null operiert.
Betrachten wir nun unsere treue Darstellung G ↩→ GL(n; R), so ist die
induzierte Operation von G auf dem Polynomring in den Matrixkoeffizienten
C[Xij] eine direkte Summe stetiger endlichdimensionaler Darstellungen.
Wenden wir auf solch eine polynomiale Funktion f unser Maß µ an und werten
das Resultat aus im neutralen Element von G, so erhalten wir schlicht
(µf)(e) = f(g −1 )µ(g)
G
Andererseits liegen nach Stone-Weierstraß die Einschränkungen unserer polynomialen
Funktionen auf ein beliebiges Kompaktum Ω von G dicht in C(Ω)
bezüglich der sup-Norm. Aus µf = 0 für alle polynomialen Funktionen folgt
also
G f(g−1 )µ(g) = 0 für alle stetigen Funktionen auf G und damit µ = 0.
Seien nun µ1, . . . , µm ∈ eλ Mc(G)eλ gegeben mit Pm(µ1, . . . , µm) = µ = 0.
So gibt es eine einfache endlichdimensionale Darstellung E von G, auf der
µ nicht durch Null operiert. Dann operiert µ auch nicht durch Null auf eλE
und die Behauptung folgt aus der Dimensionsabschätzung 13.6.4.
Lemma 13.6.6. dim eλH ≤ (dim λ) 2 .