Analysis

1048 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Übung 10.6.11. Die Kompaktheit des Ausgangsraums ist wesentlich im Satz
von Arzela-Ascoli: So ist etwa für die “Dächle-Funktion” d(x) = sup(1 −
|x|, 0) auf R die Menge ihrer verschobenen Kopien fn(x) = d(x − n) zwar
gleichgradig stetig, hat aber keinen kompakten Abschluß.
Proposition 10.6.12 (Kompaktheit von Konvolutionsoperatoren).
Gegeben kompakte metrische Räume X, Y und ein nichtnegatives Borelmaß µ
auf X und eine stetige Funktion h ∈ C(X × Y ) erhalten wir einen kompakten
Operator K : L 2 (X) → C(Y ) durch die Abbildungsvorschrift
(Kf)(y) = h(x, y)f(x)µ〈x〉
X
Beweis. Jede beschränkte meßbare Funktion g : X → C ist quadratintegrierbar
und die Cauchy-Schwarz’sche Ungleichunge liefert g2 ≤ µ(X)g∞. Die
Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung sagt uns also, dass der Integrand in unserer
Proposition für alle y ∈ Y integrierbar ist, und liefert gleichzeitig die
Abschätzung
|(Kf)(y)| ≤ h∞µ(X)f2
Jetzt ist aber h auch gleichmäßig stetig, für alle ε > 0 gibt es also ein δ > 0
mit
d(y, z) < δ ⇒ |h(x, y) − h(x, z)| < ε ∀x ∈ X
Mit derselben Rechnung wie eben impliziert d(y, z) < δ also
|(Kf)(y) − (Kf)(z)| ≤ εµ(X)f2
Insgesamt ist also die Menge F = {Kf | f2 ≤ 1} ⊂ C(Y ) gleichgradig stetig
und sie liegt sogar bereits in C(Y, K) für M = {z ∈ C | |z| ≤ h∞µ(X)}.
Nach Arzela-Ascoli hat dann F kompakten Abschluss in C(Y, M) oder gleichbedeutend
in C(Y ) und unser Operator K ist kompakt.
Ergänzung 10.6.13. Eine stetige lineare Abbildung von topologischen Vektorräumen
heißt ein Fredholm-Operator genau dann, wenn ihr Bild abgeschlossen
ist und ihr Kern und ihr Kokern endliche Dimension haben. Der
Index eines Fredholm-Operators A : X → Y ist die Zahl
ind(A) = dim(ker A) − dim(coker A)
Ist A : X → X ein kompakter selbstadjungierter Operator auf einem Hilbertraum,
so zeigt der Spektralsatz, daß A − λ id Fredholm vom Index Null ist
für alle λ ∈ C × . Man kann das aber auch allgemeiner für einen beliebigen
kompakten Operator auf einem Banachraum zeigen.