Analysis

1218 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
3.3.8. Gegeben ganz allgemein eine eingebettete Mannigfaltigkeit M erklären
wir das sogenannte Kotangentialbündel von M zunächst rein mengentheoretisch
als die disjunkte Vereinigung der Dualräume der Tangentialräume
von M, in Formeln
T ∗ M =
{x} × (TxM) ∗
x∈M
Es ist üblich, den Dualraum des Tangentialraums an einer Stelle x ∈ M mit
T ∗ xM := (TxM) ∗ abzukürzen und als Kotangentialraum an M bei x anzusprechen.
In VI.4.2.1 werden wir abstrakte Mannigfaltigkeiten einführen und
in VI.5.2.1 unser Kotangentialbündel T ∗ M mit der Struktur einer“abstrakten
Mannigfaltigkeit” versehen, aber so weit will ich hier noch nicht gehen. Für
jede glatte Funktion f : M → R ist nun ihr Differential aus VI.1.6.4 an jeder
Stelle x ∈ M eine lineare Abbildung dxf : TxM → Tf(x)R, die wir durch
Nachschalten der natürlichen Identifikation Tf(x)R = R auch als Element des
Dualraums dxf ∈ T ∗ xM auffassen können. So liefert also jedes differenzierbare
f eine Abbildung df : M → T ∗ M, x ↦→ dxf. Insbesondere liefern die
Differentiale der Koordinaten x1, . . . , xn wohbestimmte Schnitte dx1, . . . , dxn
des Kotangentialbündels über U. Man überzeugt sich leicht, daß diese dxxi
an jeder Stelle x ∈ U eine Basis des zugehörigen Kotangentialraums T ∗ xM
bilden. Erklären wir also Funktionen
pi : T ∗ U → R
auf dem Kotangentialbündel als die Koordinaten zu dieser Basis, in Formeln
pi : n
i=1 αi(dxxi) ↦→ αi, und erklären Funktionen xi : T ∗ U → R durch die
Vorschrift, daß sie auf T ∗ xU den Wert xi(x) annehmen sollen, so liefert das
Funktionensystem (x1, . . . , xn, p1, . . . , pn) eine Bijektion
T ∗ U ∼ → W × R n
von der wir in ?? zeigen werden, daß sie ein Isomorphismus von abstrakten
Mannigfaltigkeiten ist. Man nennt (x1, . . . , xn, p1, . . . , pn) auch das zu den
lokalen Koordinaten x1, . . . , xn von M gehörige kanonische Koordinatensystem
des Kotangentialbündels.
3.3.9. In unserem speziellen Fall eines Systems von Massepunkten mit Zwangsbedingungen
können wir die Diskussion abstrakter Mannigfaltigkeiten noch
vermeiden, indem wir bemerken, daß das massebehaftete Skalarprodukt Vektorraumisomorphismen
κm : TxM ⊗ T ∗ ∼ → T ∗ xM ⊗ 〈〈gm 2 /s〉〉