Analysis

818 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Beweis. Wir betrachten die Räume homogener Polynome in drei Veränderlichen
C[X, Y, Z] l . Eine Polynomfunktion P , die homogen ist vom Grad d,
erfüllt die Gleichung P (λv) = λ l P (v) für alle v ∈ R 3 und λ ∈ R. Mithin
definiert die Einschränkung für alle d ≥ 0 eine Einbettung
C[X, Y, Z] l ↩→ C(S 2 )
wobei die Polynome von geradem bzw. ungeradem Grad in den Räumen aller
unter der Punktspiegelung am Ursprung geraden bzw. ungeraden Funktionen
C(S 2 ) + bzw. C(S 2 ) − landen. Bezeichnet C l das Bild von C[X, Y, Z] l in C(S 2 ),
so haben wir
C 0 ⊂ C 2 ⊂ C 4 ⊂ . . . ⊂ C(S 2 ) +
C 1 ⊂ C 3 ⊂ C 5 ⊂ . . . ⊂ C(S 2 ) −
da ja ein Polynom P ∈ C[X, Y, Z] l dieselbe Einschränkung auf die Sphäre
hat wie das Polynom (X 2 + Y 2 + Z 2 )P ∈ C[X, Y, Z] l+2 . Die Dimensionen
ergeben sich leicht zu
dim C l = dim C[X, Y, Z] l
= dim C[X, Y ] ≤l
= 1 + 2 + . . . + l + (l + 1)
= (l + 1)(l + 2)/2
Nun sind alle C l offensichtlich stabil unter der Drehgruppe SO(3) und die
konstanten Funktionen C 0 bzw. die linearen Funktionen C 1 bilden irreduzible
Darstellungen der Dimensionen Eins bzw. Drei. Wir zeigen als nächstes, daß
für l ≥ 2 das orthogonale Komplement H l von C l−2 in C l eine irreduzible
Darstellung der Dimension 2l + 1 ist. Die Dimension ergibt sich durch direkte
Rechnung und besonders anschaulich durch die Betrachtung geeigneter
Treppenbilder. Die Irreduzibilität folgern wir induktiv mithilfe unserer Erkenntnisse
über die Struktur irreduzibler Darstellungen der Drehgruppe aus
2.2.12, 2.4.13. Zunächst beachten wir dazu für S 1 ⊂ SO(3) die Gruppe der
Drehungen um die z-Achse und χn die entsprechende einfache Darstellung
von S 1 , daß χl in C l vorkommt, in Formeln
Hom S1
C (χl, C l ) = 0
In der Tat ist (x+i y) l eine Funktion, die sich entsprechend unter S 1 transformiert.
Per Induktion bzw. expliziter Betrachtung im Fall l = 0, 1 wissen wir
nach 1.1.14 auch, daß dieses Gewicht von S 1 in C l−2 nicht vorkommt. Folglich
muß es in H l vorkommen, und aus Dimensionsbetrachtungen folgt dann, daß