Analysis

1098 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
meßbaren Mengen verschwinden, nennen wir die von K getragenen Maße.
Die von irgendeinem Kompaktum getragenen Maße nennen wir kompakt
getragene Maße und notieren sie je nach ihrem Wertebereich
M!(X) = M!(X; C) ⊃ M!(X; R) ⊃ M!(X; [0, ∞)) ⊂ M!(X; [0, ∞])
11.9.2. Jedes kompakt getragene komplexe Maß läßt sich sogar darstellen
als eine endliche Linearkombination mit komplexen Koeffizienten von endlichen
positiven kompakt getragenen Maßen. Um das zu sehen, stellen wir
es dar als eine endliche Linearkombination von endlichen positiven Maßen
und schränken dann alle diese Maße ein auf ein geeignetes Kompaktum. Mit
dieser Erkenntnis sieht man leicht, daß V.2.2.9 analog auch für Räume von
kompakt getragenen topologischen Maßen gilt.
11.9.3. Sind X und Y separable topologische Räume, so liefert das Bilden
des Produktmaßes mithilfe von V.2.2.9 bzw. mithilfe der vorhergehenden
Bemerkung Abbildungen
M!(X) ⊗C M!(Y ) → M!(X × Y )
11.9.4. Gegeben eine stetige Abbildung f : X → Y ist das Bild eines kompakt
getragenen Maßes auch selbst kompakt getragen und wir erhalten so eine
komplexlineare Abbildung
f∗ : M!(X) → M!(Y )
Definition 11.9.5. Gegeben eine separable topologische Gruppe G bilden
unter unserer Konvolution von Maßen aus 10.8.3 die kompakt getragenen
Maße einen Teilring, so daß wir insgesamt eine Kette von Ringen
CG ⊂ M!(G) ⊂ M(G)
erhalten, wenn wir die erste Einbettung dadurch erklären, daß jedem g ∈ G
das Dirac-Maß bei g zugeordnet werden soll.
11.10 Von-Neumann-Darstellungen
Definition 11.10.1. Eine von-Neumann-Darstellung einer topologischen
Gruppe ist eine stetige Darstellung in einem von-Neumann-Raum.
Definition 11.10.2 (Operationen von Maßen auf Darstellungen). Gegeben
eine von-Neumann-Darstellung V einer topologischen Gruppe G, ein