Analysis

1052 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
G → G zuordnet. Auf diese Weise wird M(G) ein Ring, und wir können den
Gruppenring CG darin als Teilring einbetten, indem wir jedem g ∈ G das
Dirac-Maß bei g zuordnen. Die Assoziativität unserer Konvolution zeigt man
wie in V.2.5.6.
Ergänzung 10.8.4. Arbeitet man mit lokal kompakten Gruppen, so kann man
die Forderung der Separabilität umgehen und die Theorie für beliebige lokal
kompakte Gruppen entwickeln auf der Basis von sogenannten “Radon-
Maßen”, d.h. geeigneten Linearformen auf dem Raum der stetigen Funktionen
mit kompaktem Träger. Von unserem Standpunkt der topologischen
Maße aus ist diese Allgemeinheit jedoch schlecht zugänglich, und für unsere
Ziele ist sie auch nicht wichtig.
Definition 10.8.5 (Faltung von Maßen mit stetigen Funktionen). Ist
G eine separable topologische Gruppe, µ ∈ M(G) ein komplexes Maß auf G
und f : G → C stetig und beschränkt, so erklären wir eine weitere stetige
beschränkte Funktion µ ∗ f auf G durch die Vorschrift
(µ ∗ f)(x) = f(y −1 x) µ〈y〉
Es reicht hier, die Stetigkeit im Fall nichtnegativer endlicher Maße µ zu zeigen,
in dem sie aus dem Satz über dominierte Konvergenz folgt: Für Funktionen
auf separablen topologischen Räumen impliziert nämlich nach 3.1.11
die Folgenstetigkeit bereits die Stetigkeit.
10.8.6. Die Beschränktheit von f ist hier wichtig, um die Konvergenz des
Integrals zu sichern. Man kann Maße auch “von rechts” an Funktionen falten,
dazu betrachte man (f ∗ µ)(x) = f(xy) µ〈y〉. Ich will das hier nicht weiter
verfolgen, alle diese Konstruktionen werden sich später eh als Spezialfälle der
“Wirkung von Maßen auf Darstellungen” erweisen.
Beispiel 10.8.7. Ist E ⊂ G endlich und µ =
y∈E ayδy eine Linearkombination
von Diracmaßen mit komplexen Koeffizienten, so haben wir
µ ∗ f =
ay ´yf
Ähnliches gilt allgemeiner für abzählbare Linearkominationen von Diracmaßen
mit einer absolut konvergenten Familie von Koeffizienten.
Übung 10.8.8. Sind G eine separable topologische Gruppe, µ, ν ∈ M(G) komplexe
Maße auf G und f : G → C stetig und beschränkt, so gilt
y∈E
µ ∗ (ν ∗ f) = (µ ∗ ν) ∗ f