Analysis

616 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
Beweis. Wir nennen unsere Koordinaten hier ausnahmsweise x0, x1, . . . , xk
und können schreiben
η =
k
ην dx0 ∧ . . . ∧ dxν ∧ . . . ∧ dxk
ν=0
für stetig differenzierbare Funktionen ην mit kompaktem Träger. Es ergibt
sich i∗η = η0 dx1 ∧ . . . ∧ dxk, die linke Seite ist also schlicht
Rk η0. Auf der
rechten Seite erhalten wir
dη =
k
ν ∂ην
(−1) dx0 ∧ . . . ∧ dxk
∂xν
ν=0
und für alle ν = 0 verschwindet beim entsprechenden Summanden das ν-te
partielle Integral, da die Stammfunktion ην kompakten Träger hat und von
−∞ bis ∞ integriert wird. Nur der erste Summand liefert also einen Beitrag,
und der ist 0
∂η0
= η0
∂x0
R k
−∞
7.8.9. Lassen wir den Beweis des Stokes’schen Satzes nocheinmal Revue passieren,
so fällt auf, daß er ziemlich kurz ist. Das liegt daran, daß seine Formulierung
in der Sprache der Differentialformen so gut mit Koordinatenwechseln
verträglich ist, daß wir uns sofort auf einen sehr einfachen Spezialfall zurückziehen
können. In gewisser Weise haben wir also mit der Entwicklung der
Sprache der Differentialformen die Hauptarbeit bereits geleistet. Als wesentliche
nichttriviale Aussage möchte ich dabei insbesondere die Verträglichkeit
der äußeren Ableitung mit Koordinatenwechseln hervorheben, die sich auch
in anderen Zusammenhängen noch als starkes Hilfsmittel erweisen wird.
7.8.10. Ich formuliere nun einige Spezialfälle des allgemeinen Stokes’schen
Satzes 7.8.1 in klassischer Notation, um die Lektüre älterer Texte zu erleichtern.
Ich hoffe jedoch, daß sich der für explizite Rechnungen und theoretische
Überlegungen gleichermaßen bestens geeignete Formalismus der Differentialformen
mit der Zeit auch bei den Anwendern durchsetzen wird.
Beispiel 7.8.11 (Wegintegral über ein Gradientenfeld). Sei ϕ : [a, b] →
R n eine stetig differenzierbare Injektion mit nirgends verschwindendem Differential,
die einen Homöomorphismus auf ihr Bild induziert. Aus 7.7.14 folgt
leicht, daß dann das Bild von ϕ eine berandete 1-Mannigfaltigkeit M ist, und
diese 1-Mannigfaltigkeit besitzt genau eine Orientierung, für die ϕ|(a,b) eine
orientierte Karte ist. Gegeben eine Nullform alias Funktion f auf einer offenen
Umgebung von M haben wir df = 〈grad f, 〉 = (grad f)· und der Satz
R k