Analysis

888 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Diese Funktion ist glatt als Funktion von (s, t) ∈ W ⊂◦ R 2 für eine hinreichend
kleine offene Umgebung W des Ursprungs und es gilt, sie bis zu den Termen
der Ordnung Zwei in eine Potenzreihe zu entwickeln. Auf den beiden Koordinatenachsen
s = 0 und t = 0 ist unsere Funktion konstant Null, weshalb wir
nach der Taylorformel als einzigen Term der Ordnung Zwei ein konstantes
Vielfaches von st erhalten werden. Um hier den Koeffizienten von st zu bestimmen,
entwickeln wir zunächst einmal den Fluß Φ bis zur Ordnung Zwei
um (0, p). Ohne Beschränkung der Allgemeinheit dürfen wir X = R n annehmen.
Die Koordinaten nennen wir v1, . . . , vn. Nach der Taylorformel IV.2.2.5
gilt
Φ(t, p + v) = Φ(0, p) + ∂Φ
∂t t + ∂Φ
∂vi vi+
+ 1 ∂
2
2Φ ∂t2 t2 + ∂2Φ ∂vi∂t vit + 1
2
∂ 2 Φ
∂vi∂vj vivj + . . .
wobei alle partiellen Ableitungen an der Stelle (0, p) auszuwerten sind und
Vektoren aus R n liefern und die Pünktchen Terme höherer Ordnung andeuten.
Unsere Taylorformel IV.2.2.5 hatten wir nur für reellwertige Funktionen
gezeigt, formal gilt es also hier, sie auf alle Komponenten unserer Abbildung
Φ anzuwenden. Ich habe die daranzumultiplizierenden Skalare hier hinter die
fraglichen Vektoren geschrieben in der Hoffnung, daß so die Taylorreihe besser
wiederzuerkennen ist. Nun gilt ja Φ(0, p +v) = p +v, womit die partiellen
Ableitungen ohne Zeitanteil leicht zu bestimmen sind und insbesondere der
letzte Term oben wegfällt. Weiter ist Φ(t, q) = A t q die Integralkurve zu q,
woraus folgt ∂Φ
∂t (0, q) = Aq. Damit hat unsere Entwicklung also die Gestalt
Φ(t, p + v) = p + Apt + v + ct 2 + ∂A
vit + . . .
∂vi
mit einem unbekanntem Vektor c. Nun wenden wir unseren Satz IV.2.3.6
über das Rechnen mit Approximationen an und erhalten für Φ(t, ˆ Φ(s, p)) die
Entwicklung
Φ(t, ˆ Φ(s, p)) = Φ(t, p + Bps + ĉs 2 + . . . )
= p + Apt + Bps + ĉs 2 + ct 2 + ∂A
∂vi (Bp)ist + . . .
wobei der Index i unten an der Klammer bedeutet, daß von fraglichem Vektor
die i-te Komponente zu nehmen ist. Vertauschen wir nun die Rollen von A
und B sowie von s und t und ziehen die so entstehenden Ausdrücke voneinander
ab, so erhalten wir wie erwartet nur einen gemischten quadratischen
Term, und der ist
∂B
(Ap)i −
∂vi
∂A
(Bp)i st
∂vi