Analysis

5. UNAUSGEGORENES ZUR FUNKTIONENTHEORIE 1451
mit q ∈ C(w) einem rationalen Ausdruck in w und ˆγ einem komplizierteren
Integrationsweg in der komplexen Zahlenebene, aber mit p einem Polynom
nur noch dritten Grades ohne mehrfache Nullstellen. Nach einer weiteren
Substitution der Gestalt w(z) = cz + d dürfen wir sogar annehmen, daß p(z)
die Gestalt p(z) = 4z 3 + αz + β hat. Im folgenden werden wir meromorphe
Funktionen ℘ auf der komplexen Zahlenebene konstruieren, die eine Gleichung
der Gestalt (℘ ′ ) 2 = 4℘ 3 + α℘ + β erfüllen. Sobald das geleistet ist,
führt uns die Substitution z = ℘(u) auf die Suche einer Stammfunktion von
q(℘(u)). Das ist zwar im allgemeinen immer noch nicht besonders einfach,
aber im Fall q = 1 eben doch, und damit können wir dann zumindest das
Integral über den Kehrwert der Wurzel eines kubischen Polynoms schreiben
als Umkehrfunktion der besagten Funktion ℘.
Definition 5.3.2 (Weierstraß’sche ℘-Funktion). Gegeben ein Gitter Γ ⊂
C alias das Gruppenerzeugnis einer R-Basis von C definiert man eine holomorphe
Funktion auf C\Γ durch die Reihe
℘(z) = ℘Γ(z) = 1
1 1
+ −
z2 (z − ω) 2 ω
ω∈Γ\0
2
Daß diese Reihe auf C \ Γ kompakt konvergiert zeigt man, indem man für
jedes Kompaktum K ⊂ C nachweist, daß fast alle Terme unserer Reihe für
z ∈ K betragsmäßig abgeschätzt werden können durch 2/|ω| 3 . Die Summe
der 1/|ω| 3 konvergiert jedoch nach IV.6.9.11. Setzen wir ℘ auf ganz C fort, indem
wir allen Gitterpunkten als Wert ∞ zuordnen, so erhalten wir mit demselben
Argument eine meromorphe Funktion auf C, die Weierstraß’sche
℘-Funktion zu unserem Gitter Γ.
Proposition 5.3.3 (Eigenschaften der ℘-Funktion). Ist Γ ⊂ C ein Gitter,
so ist die zugehörige ℘-Funktion gerade, in Formeln ℘(z) = ℘(−z), und
Γ-periodisch, in Formeln ℘(z + ω) = ℘(z) für alle z ∈ C und ω ∈ Γ.
Beweis. Offensichtlich ist ℘ gerade. Offensichtlich ist die Ableitung ℘ ′ der
℘-Funktion Γ-periodisch. Für jedes ω ∈ Γ verschwindet also die Ableitung
von z ↦→ ℘(z + ω) − ℘(z) auf C \ Γ und diese Funktion ist mithin konstant.
Bezeichnen wir diese Konstante mit c(ω), so ist offensichtlich c : Γ → C ein
Gruppenhomomorphismus und insbesondere gilt c(−ω) = −c(ω). Andererseits
ist mit ℘ auch unsere Funktion c gerade, in Formeln c(−ω) = c(ω).
Zusammen ergibt sich c(ω) = 0 für alle ω ∈ Γ.
Satz 5.3.4 (Bedeutung der Weierstraß’schen ℘-Funktion). Sei Γ ⊂ C
ein Gitter und ℘ = ℘Γ die zugehörige Weierstraß’sche ℘-Funktion.