Analysis

1452 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
1. Zusammen mit ihrer Ableitung liefert die ℘-Funktion eine Bijektion
C/Γ ohne das
neutrale Element
∼→ 2 2 3 {(x, y) ∈ C | y = 4x + ax + b}
z ↦→ (℘(z), ℘ ′ (z))
wobei unsere a, b ∈ C gegeben werden durch a = −60
ω∈Γ\0 ω−4 und
b = −140
ω∈Γ\0 ω−6 .
2. Der Körper M(C/Γ) der meromorphen Funktionen auf dem Quotienten
wird über C erzeugt von ℘ und ℘ ′ .
Bemerkung 5.3.5. Die im Satz erklärte Abbildung induziert auch eine Bijektion
zwischen C/Γ und dem Abschluß unserer Kubik in P 2 C, und diese
Bijektion ist sogar ein Isomorphismus von Riemann’schen Flächen im Sinne
von VI.4.2.3, wobei wir C/Γ mit der finalen Struktur zur Projektion C ↠ C/Γ
versehen und unsere Kubik mit der von P 2 C induzierten Struktur.
Beweis. 2. Jede gerade Funktion aus M(C/Γ) mit in Γ enthaltener Polstellenmenge
läßt sich als Polynom in ℘ darstellen, denn das Bilden des nichtpositiven
Terms der Laurententwicklung um Null liefert nach ?? die horizontale
Injektion im Diagramm
{f ∈ M(C/Γ) gerade mit f −1 (∞) ⊂ Γ}
−2 C[z ]
C[℘]
und die Laurententwicklung von ℘ zeigt sofort, daß die diagonale Abbildung
bijektiv ist. Es folgt, daß alle drei Abbildungen Vektorraumisomorphismen
sein müssen. Jede gerade Funktion f aus M(C/Γ) kann damit als rationale
Funktion in ℘ dargestellt werden, denn hat f einen Pol bei a ∈ Γ, so können
wir durch Multiplikation mit (℘(z) − ℘(a)) N für hinreichend großes N zu
einer geraden Funktion ohne Pol bei a übergehen. Eine beliebige elliptische
Funktion f ∈ M(C/Γ) schließlich können wir zerlegen in f = f + + f − mit
f + gerade und f − ungerade und dann schreiben als f = f + + (f − /℘ ′ )℘ ′ .
1. Um zu prüfen, daß unsere Funktion wirklich in der angegebenen Kubik
landet, gilt es, die Formel
(℘ ′ ) 2 = 4℘ 3 + a℘ + b
nachzuweisen. Mithilfe der Laurententwicklungen am Nullpunkt zeigt man
jedoch ohne Schwierigkeiten, daß die Differenz eine elliptische Funktion ohne
Pole ist, die bei z = 0 und folglich überall verschwindet.